Kesalahan Penalaran dalam Menyelesaikan Masalah Kalkulus

Send Message

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Kesalahan Penalaran dalam Menyelesaikan Masalah Kalkulus

Banyak sekali kesalahan-kesalahan kecil yang kita lakukan ketika mengerjakan soal matematika. Walaupun kesalahannya terbilang sederhana, namun akan berakibat sangat fatal (pake banget malah!). Kesalahan ini terjadi karena kurangnya pemahaman kita terhadap konsep dasar dalam matematika. Berikut ini merupakan kesalahan yang sering kita lakukan:

Pembagian Nol dengan Nol

Contohnya begini: Misalkan $x=y$ , kemudian kedua ruas dikalikan dengan $x$ untuk menghasilkan

$x\times x=y\times x$

$x^{2}=xy$

$x^{2}-y^{2}=xy-y^{2}$

$(x+y)(x-y)=y(x-y)$

$\frac{(x+y)(x-y)}{(x-y)}=\frac{y(x-y)}{(x-y)}$

$x+y=y$

karena $x=y$ , jadi dapat dituliskan

$x+x=x$

$2x=x$

$2=1$

Wah wah, kok bisa ya $2=1$ ? jelas hasil tersebut salah. Letak kesalahannya ada pada langkah dari baris kelima menuju baris keenam, ketika kita membagi kedua ruas dengan $(x-y)$ . Kenapa salah? karena sudah disebutkan di awal bahwa $x=y$ , jadi $x-y=0$ . Karenanya yang terjadi adalah pembagian nol dengan nol,

$\frac{x-y}{x-y}=\frac{0}{0}$ $\rightarrow$ Bentuk tak tentu

Kita tidak bisa membagi nol dengan nol karena merupakan bentuk tak tentu, artinya $\frac{0}{0}$ nilainya tidak menentu, bisa saja bernilai $-5, 100, 10juta, 100milyar$ , atau bahkan tak terhingga. So, berhati-hatilah ketika ingin “mencoret kedua ruas” seperti masalah di atas.

Menentukan Akar-Akar Positif dan Negatif

Perhatikan identitas trigonometri berikut

$cos^{2}x+sin^{2}x=1$

$cos^{2}x=1-sin^{2}x$

$\sqrt{cos^{2}x}=\sqrt{1-sin^{2}x}$

$cosx=\sqrt{1-sin^{2}x}$

Tambahkan konstanta $1$ pada kedua ruas

$1+cosx=1+\sqrt{1-sin^{2}x}$

Sekarang substitusikan $x=\pi$ , maka

$1+cos\pi=1+\sqrt{1-sin^{2}\pi}$

$1-1=1+\sqrt{1-0}$

Jadi

$0=2$

Mudah sekali untuk menebak di mana letak kekeliruannya. Apa teman-teman bisa menemukannya? cukup ingat kembali akar-akar positif dan negatif jika diberikan persamaan

$x^{2}=c^{2}$

yang memiliki solusi $x=\pm c$ . Jadi persamaan pada baris keempat di atas haruslah

$cosx=\pm \sqrt{1-sin^{2}x}$

Tidak hanya itu, kita juga harus memeriksa nilai $x$ yang menyebabkan persamaan pada baris keempat, yakni $cosx=\sqrt{1-sin^{2}x}$ , nilainya valid. Ruas kanan pada persamaan tersebut akan selalu bernilai positif, karenanya haruslah $cosx$ juga bernilai positif. Nah, ketika kita mensubstitusikan $x=\pi$ , maka $cosx$ bernilai negatif, jadi tidak bisa kita mensubstitusikan $x=\pi$ karena menyebabkan persamaan $cosx=\sqrt{1-sin^{2}x}$ tidak valid.

Ketidaktelitian Mengerjakan Limit di Tak Hingga

Pandang deret aritmatika berikut

$1+2+3+\cdot\cdot\cdot+n=\frac{n(n+1)}{2}$

kalikan kedua ruas dengan $1/n$ ,

$\frac{1+2+3+\cdot\cdot\cdot+n}{n}=\frac{n(n+1)}{2n}$

kemudian ambil limit pada kedua ruas untuk $n\rightarrow\infty$ ,

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1+2+3+\cdot\cdot\cdot+n}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n(n+1)}{2n}$

$\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\cdot\cdot\cdot+\frac{n}{n})=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n(n+1)}{2n}$

$0+0+0+\cdot\cdot\cdot+1=\infty$

$1=\infty$

Kasus ini terjadi karena ketidaktelitian kita dalam mengerjakan soal. Pandang kembali

$\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\cdot\cdot\cdot+\frac{n}{n})$

kita zoom hingga 24x untuk melihat suku-suku sebelum $\frac{n}{n}$ ,

$\cdot\cdot\cdot+\frac{n-3}{n}+\frac{n-2}{n}+\frac{n-1}{n}+\frac{n}{n}$

jadi ketika $n\rightarrow\infty$ haruslah

$\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\cdot\cdot\cdot+\frac{n-2}{n}+\frac{n-1}{n}+\frac{n}{n})=0+0+0+\cdot\cdot\cdot+1+1+1+1+\cdot\cdot\cdot=\infty$

Melupakan Konstanta C pada Integral Parsial

Masih ingat teknik pengintegralan parsial (tak tentu)? yang rumusnya kaya gini loh:

$\int udv=uv-\int vdu$

Sekarang kita coba selesaikan integral $\int \frac{1}{x}dx$ dengan menggunakan teknik tersebut. Misalkan $u=\frac{1}{x}$ dan $dv=dx$ , kita punya

$du=-\frac{1}{x^{2}}dx$ dan $v=\int dx=x$

Maka dengan integral parsial didapat

$\int \frac{1}{x}dx=(\frac{1}{x})(x)-\int x(-\frac{1}{x^{2}}dx)$

$\int \frac{1}{x}dx=1+\int\frac{1}{x}dx$ $(*)$

Kurangi kedua ruas dengan $\int \frac{1}{x}dx$ , diperoleh

$0=1$

Hmm...bisa tebak enggak dimana letak kesalahannya? untuk menjawabnya, kita harus kembali pada definisi dari integral tak tentu. Kita melupakan suatu konstanta $C$ saat melakukan pengintegrasian, ya kan? Integral dalam kedua ruas pada persamaan $(*)$ bisa jadi memiliki konstanta yang berbeda. Misalkan integral pada ruas kiri hasilnya adalah

$\int \frac{1}{x}dx=F(x)+C_{1}$

dan pada ruas kanan

$\int \frac{1}{x}dx=F(x)+C_{2}$

Jadi pada persamaan $(*)$ tidak boleh ‘habis’ dikurangi dengan $\int\frac{1}{x}dx$ , karena belum tentu integral $\int\frac{1}{x}dx$ pada ruas kiri sama nilainya dengan integral $\int\frac{1}{x}dx$ pada ruas kanan.

Pengelompokkan Suku pada Deret Divergen

Misalkan didefinisikan deret tak terhingga

$S=1+2+4+8+16+\cdot\cdot\cdot$

kalikan konstanta dua pada kedua ruas, menghasilkan

$2S=2+4+8+16+32+\cdot\cdot\cdot$

sekarang kurangkan $2S$ dengan $S$

$2S-S=(2+4+8+16+32+\cdot\cdot\cdot)-(1+2+4+8+16\cdot\cdot\cdot)$

$S=-1+(2-2)+(4-4)+(8-8)+(16-16)+(32-32)+\cdot\cdot\cdot$ $(**)$

$S=-1$

Jadi kita simpulkan

$S=1+2+4+8+16+\cdot\cdot\cdot=-1$

Kenapa bisa deret positif yang jelas-jelas divergen (karena monoton naik dan tak terbatas), namun seakan akan konvergen ke bilangan negatif, $-1$ ? Kunci utamanya adalah pada deret $S$ yang divergen. Deret tak terhingga yang divergen tidak berlaku hukum asosiatif, jadi kita tidak boleh mengelompokkan suku-sukunya seperti pada $(**)$ . Kapan donk deret tak hingga berlaku hukum asosiatif? jika deret tersebut konvergen secara mutlak.

Salah itu wajar ketika proses belajar.