Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Add post

Add question

Pembuktian Limit Fungsi Menggunakan Definisi

Tentukan nilai \delta terbesar sehingga konsisten dengan definisi limit pada limit fungsi berikut :

1.\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}=2

Kotretan :

|f(x)-L|=|\frac{x^2-1}{x-1}-2|=|\frac{x^2-1}{x-1}-\frac{2(x-1)}{(x-1)}|=|\frac{x^2-1-2x+2}{x-1}|=|\frac{x^2-1-2x+2}{x-1}|

=|\frac{x^2-2x+1}{x-1}|=|\frac{(x-1)(x-1)}{x-1}|=|x-1|<\delta=\epsilon

Jadi,pilih \delta=\epsilon.

Bukti :

Ambil sebarang \epsilon >0. Pilih \delta=\epsilon, sedemikian sehingga jika kita misalkan |x-1|<\delta, maka

|f(x)-L|=|\frac{x^2-1}{x-1}-2|=|\frac{x^2-1}{x-1}-\frac{2(x-1)}{(x-1)}|=|\frac{x^2-1-2x+2}{x-1}|=|\frac{x^2-1-2x+2}{x-1}|=|\frac{x^2-2x+1}{x-1}|=|\frac{(x-1)(x-1)}{x-1}|=|x-1|<\delta=\epsilon

2.\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{1}{2}

Kotretan :

|f(x)-L|=|\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}-\frac{1}{2}|=|\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}-\frac{1(x-1)}{2(x-1)}|=|\frac{2(\sqrt{x}-1)-(x-1)}{2(x-1)}|=|\frac{2\sqrt{x}-2-x+1}{2(x-1)}|

Kita harus memunculkan |x-1| di posisi pembilang (nominator).

|\frac{2\sqrt{x}-2-x+1}{2(x-1)}|=|\frac{-x+2\sqrt{x}-1}{2(x-1)}|=|\frac{x-2\sqrt{x}+1}{2(x-1)}|

Sayangnya pada posisi pembilang hanya muncul x-2\sqrt{x}+1. Bentuk ini sama dengan (\sqrt{x}-1)^2, maka kita akan mengalikannya dengan akar sekawan.

=|\frac{x-2\sqrt{x}+1}{2(x-1)}|=|\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{2(x-1)}|=|\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{2(x-1)}.\frac{(\sqrt{x}+1)^2}{(\sqrt{x}+1)^2}|=|\frac{(x-1)^2}{2(x-1)(\sqrt{x}+1)^2}|

Kita sudah memunculkan |x-1| pada pembilang, tapi ini menyebabkan muncul(\sqrt{x}+1)^2 pada penyebut. Ini menyebabkan masalah lain karena menurut definisi \delta harus bergantung pada \epsilon, tidak boleh bergantung pada x maupun \delta. Triknya adalah dengan memperhatikan bahwa

*\frac{1}{2.3}<\frac{1}{2} atau

*\sqrt{x}+1>1, maka \frac{1}{\sqrt{x}+1}<1, maka \frac{1}{(\sqrt{x}+1)^2}<1

sehingga

=|\frac{(x-1)^2}{2(x-1)(\sqrt{x}+1)^2}|<\frac{(x-1)^2}{2(x-1)}<\frac{\delta^2}{2\delta}=\epsilon

Jadi \frac{\delta}{2}=\epsilon, sehingga \delta=2\epsilon

Bukti :

Ambil sebarang \epsilon >0. Pilih \delta=2\epsilon, sedemikian sehingga jika kita misalkan |x-1|<\delta, maka

|f(x)-L|=|\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}-\frac{1}{2}|=|\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}-\frac{1(x-1)}{2(x-1)}|=|\frac{2(\sqrt{x}-1)-(x-1)}{2(x-1)}|=|\frac{2(\sqrt{x}-1)-(x-1)}{2(x-1)}|

=|\frac{2\sqrt{x}-2-x+1}{2(x-1)}|=|\frac{2\sqrt{x}-2-x+1}{2(x-1)}|=|\frac{-x+2\sqrt{x}-1}{2(x-1)}|=|\frac{x-2\sqrt{x}+1}{2(x-1)}|

=|\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{2(x-1)}|=|\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{2(x-1)}.\frac{(\sqrt{x}+1)^2}{(\sqrt{x}+1)^2}|=|\frac{(x-1)^2}{2(x-1)(\sqrt{x}+1)^2}|

=|\frac{(x-1)^2}{2(x-1)(\sqrt{x}+1)^2}|<\frac{(x-1)^2}{2(x-1)}<\frac{\delta^2}{2\delta}=\epsilon

3.\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^3-1}{x-1}=3

Kotretan :

|f(x)-L|=|\frac{x^3-1}{x-1}-3|=|\frac{x^3-1}{x-1}-\frac{3(x-1)}{x-1}|=|\frac{x^3-1-3x+3}{x-1}|=|\frac{x^3-3x+2}{x-1}|

Ingat, untuk mencari \delta, kita butuh untuk memunculkan |x-c|<\delta. Tapi, muncul |x-1| pada bagian penyebut. Bagaimana untuk menghilangkannya?

Faktorkan bagian pembilang!

=|\frac{x^3-3x+2}{x-1}|=|\frac{(x-1)(x^2+x-2)}{x-1}|=|\frac{(x-1)(x+2)(x-1)}{(x-1)}|=|(x-1)(x+2)|

Muncul x+2, padahal kita hanya ingin memunculkan x-1. Bagaimana cara agar yang muncul hanya x-1?

=|(x-1)(x+2)|=|(x-1)(x-1+3)|=|(x-1)^2+3(x-1)|

Gunakan pertidaksamaan segitiga

=|(x-1)^2+3(x-1)|\leq |(x-1)^2|+|3(x-1)|<\delta^2+3\delta

Menggunakan sifat transitif pertidaksamaan a<b dan b<c, maka a<c, diperoleh

|f(x)-L|<\delta^2+3\delta

Gunakan |f(x)-L|<\epsilon untuk mencari \delta yang hanya bergantung pada \epsilon

\delta^2+3\delta=\epsilon

(\delta+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}=\epsilon

(\delta+\frac{3}{2})^2=\epsilon+\frac{9}{4}

\delta+\frac{3}{2}=\sqrt{\epsilon+\frac{9}{4} }

\delta=\sqrt{\epsilon+\frac{9}{4} }-\frac{3}{2}

Tulis bukti formal seperti no 2!

4.\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^2-x+1=1

Kotretan :

|f(x)-L|=|x^2-x+1-1|=|x^2-x|=|x(x-1)|

Muncul x, padahal kitahanya ingin memunculkan (x-1). Bagaimana cara agar yang muncul hanya x-1?

=|x(x-1)|=|(x-1+1)(x-1)|=|(x-1)^2+(x-1)|

Gunakan pertidaksamaan segitiga agar kita bisa peroleh bentuk |x-c|<\delta

=|(x-1)^2+(x-1)|\leq |(x-1)^2|+|(x-1)|

Gunakan bentuk |x-c|<\delta

=|(x-1)^2+(x-1)|\leq |(x-1)^2|+|(x-1)|<\delta^2+\delta

Menggunakan sifat transitif pertidaksamaan a<b dan b<c, maka a<c, diperoleh

|f(x)-L|<\delta^2+\delta

Gunakan |f(x)-L|<\epsilon untuk mencari \delta yang hanya bergantung pada \epsilon

\delta^2+\delta=\epsilon

(\delta+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}=\epsilon

(\delta+\frac{1}{2})^2=\epsilon+\frac{1}{4}

\delta+\frac{1}{2}=\sqrt{\epsilon+\frac{1}{4}}

\delta=\sqrt{\epsilon+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}

Tulis bukti formal seperti no 2!

5.\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^3+3x^2-x-3}{x^2-1}=4

Kotretan :

|f(x)-L|=|\frac{x^3+3x^2-x-3}{x^2-1}-4|=|\frac{x^3+3x^2-x-3}{x^2-1}-4\frac{x^2-1}{x^2-1}|=|\frac{x^3+3x^2-x-3-4x^2+4}{x^2-1}|

=|\frac{x^3-x^2-x+1}{x^2-1}|

Ingat, untuk mencari \delta, kita butuh untuk memunculkan |x-c|<\delta. Tapi, muncul |x^2-1| pada bagian penyebut. Bagaimana untuk menghilangkannya?

Faktorkan bagian pembilang

=|\frac{x^3-x^2-x+1}{x^2-1}|=|\frac{(x-1)(x^2-1)}{x^2-1}|=|x-1|

Gunakan |x-c|<\delta

|f(x)-L|=|x-1|<\delta

Gunakan |f(x)-L|<\epsilon

Maka, pilihlah \delta=\epsilon

Tulis bukti formal seperti no 2!

 

Kontribusi : Dr. Anwar

Baca Lagi Biar Pinter

  • 56
    Selain bertemu dengan limit dari fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi irasional dan fungsi trigonometri, kita juga akan belajar bagaimana cara…
    Tags: limit, fungsi, $, rac
  • 56
    Suatu ketika soulmate saya bertanya tentang soal limit trigonometri. Soalnya sedikit "a little bit" menantang. Itu karena soalnya ada trigonometrinya. Kenapa…
    Tags: $, rac, soal, limit, fungsi
  • 55
    Pernahkah teman-teman mengerjakan soal limit yang berbentuk $latex \frac{0}{0}$ atau $latex \frac{\infty}{\infty}$ dengan menggunakan Aturan L'Hôpital? pasti jadi lebih mudah kan?…
    Tags: $, rac, limit, fungsi
  • 55
    Misalkan diberikan dua buah fungsi $latex f(x)$ dan $latex g(x)$ yang didefinisikan sebagai: [latexpage] $latex f(x)=\frac{x-1}{2}$ dan $latex g(x)=\sqrt{x-2}$ Kita…
    Tags: rac, $, fungsi, sqrt, limit
  • 53
    [latexpage] Pagi itu saya dikejutkan oleh message WhatsApp dari keponakan saya. "Aa, kumaha ieu teu ngartos?" (Kakak, bagaimana ini ngga ngerti?).…
    Tags: $, rac, limit, soal, fungsi

About Riad Taufik LazwardiSweet

Lecturer of Mathematics at 1. Kalbis Institute | Managed by Binus (2018-now) 2. Telkom University (2017-2018) 3. UIN Bandung (2015-2018)

Follow Me

Leave a reply