Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Send Message

Add post

Add question

You must login to ask question.

Pembuktian Limit Fungsi Menggunakan Definisi

Tentukan nilai \delta terbesar sehingga konsisten dengan definisi limit pada limit fungsi berikut :

1.\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}=2

Kotretan :

|f(x)-L|=|\frac{x^2-1}{x-1}-2|=|\frac{x^2-1}{x-1}-\frac{2(x-1)}{(x-1)}|=|\frac{x^2-1-2x+2}{x-1}|=|\frac{x^2-1-2x+2}{x-1}|

=|\frac{x^2-2x+1}{x-1}|=|\frac{(x-1)(x-1)}{x-1}|=|x-1|<\delta=\epsilon

Jadi,pilih \delta=\epsilon.

Bukti :

Ambil sebarang \epsilon >0. Pilih \delta=\epsilon, sedemikian sehingga jika kita misalkan |x-1|<\delta, maka

|f(x)-L|=|\frac{x^2-1}{x-1}-2|=|\frac{x^2-1}{x-1}-\frac{2(x-1)}{(x-1)}|=|\frac{x^2-1-2x+2}{x-1}|=|\frac{x^2-1-2x+2}{x-1}|=|\frac{x^2-2x+1}{x-1}|=|\frac{(x-1)(x-1)}{x-1}|=|x-1|<\delta=\epsilon

2.\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{1}{2}

Kotretan :

|f(x)-L|=|\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}-\frac{1}{2}|=|\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}-\frac{1(x-1)}{2(x-1)}|=|\frac{2(\sqrt{x}-1)-(x-1)}{2(x-1)}|=|\frac{2\sqrt{x}-2-x+1}{2(x-1)}|

Kita harus memunculkan |x-1| di posisi pembilang (nominator).

|\frac{2\sqrt{x}-2-x+1}{2(x-1)}|=|\frac{-x+2\sqrt{x}-1}{2(x-1)}|=|\frac{x-2\sqrt{x}+1}{2(x-1)}|

Sayangnya pada posisi pembilang hanya muncul x-2\sqrt{x}+1. Bentuk ini sama dengan (\sqrt{x}-1)^2, maka kita akan mengalikannya dengan akar sekawan.

=|\frac{x-2\sqrt{x}+1}{2(x-1)}|=|\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{2(x-1)}|=|\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{2(x-1)}.\frac{(\sqrt{x}+1)^2}{(\sqrt{x}+1)^2}|=|\frac{(x-1)^2}{2(x-1)(\sqrt{x}+1)^2}|

Kita sudah memunculkan |x-1| pada pembilang, tapi ini menyebabkan muncul(\sqrt{x}+1)^2 pada penyebut. Ini menyebabkan masalah lain karena menurut definisi \delta harus bergantung pada \epsilon, tidak boleh bergantung pada x maupun \delta. Triknya adalah dengan memperhatikan bahwa

*\frac{1}{2.3}<\frac{1}{2} atau

*\sqrt{x}+1>1, maka \frac{1}{\sqrt{x}+1}<1, maka \frac{1}{(\sqrt{x}+1)^2}<1

sehingga

=|\frac{(x-1)^2}{2(x-1)(\sqrt{x}+1)^2}|<\frac{(x-1)^2}{2(x-1)}<\frac{\delta^2}{2\delta}=\epsilon

Jadi \frac{\delta}{2}=\epsilon, sehingga \delta=2\epsilon

Bukti :

Ambil sebarang \epsilon >0. Pilih \delta=2\epsilon, sedemikian sehingga jika kita misalkan |x-1|<\delta, maka

|f(x)-L|=|\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}-\frac{1}{2}|=|\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}-\frac{1(x-1)}{2(x-1)}|=|\frac{2(\sqrt{x}-1)-(x-1)}{2(x-1)}|=|\frac{2(\sqrt{x}-1)-(x-1)}{2(x-1)}|

=|\frac{2\sqrt{x}-2-x+1}{2(x-1)}|=|\frac{2\sqrt{x}-2-x+1}{2(x-1)}|=|\frac{-x+2\sqrt{x}-1}{2(x-1)}|=|\frac{x-2\sqrt{x}+1}{2(x-1)}|

=|\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{2(x-1)}|=|\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{2(x-1)}.\frac{(\sqrt{x}+1)^2}{(\sqrt{x}+1)^2}|=|\frac{(x-1)^2}{2(x-1)(\sqrt{x}+1)^2}|

=|\frac{(x-1)^2}{2(x-1)(\sqrt{x}+1)^2}|<\frac{(x-1)^2}{2(x-1)}<\frac{\delta^2}{2\delta}=\epsilon

3.\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^3-1}{x-1}=3

Kotretan :

|f(x)-L|=|\frac{x^3-1}{x-1}-3|=|\frac{x^3-1}{x-1}-\frac{3(x-1)}{x-1}|=|\frac{x^3-1-3x+3}{x-1}|=|\frac{x^3-3x+2}{x-1}|

Ingat, untuk mencari \delta, kita butuh untuk memunculkan |x-c|<\delta. Tapi, muncul |x-1| pada bagian penyebut. Bagaimana untuk menghilangkannya?

Faktorkan bagian pembilang!

=|\frac{x^3-3x+2}{x-1}|=|\frac{(x-1)(x^2+x-2)}{x-1}|=|\frac{(x-1)(x+2)(x-1)}{(x-1)}|=|(x-1)(x+2)|

Muncul x+2, padahal kita hanya ingin memunculkan x-1. Bagaimana cara agar yang muncul hanya x-1?

=|(x-1)(x+2)|=|(x-1)(x-1+3)|=|(x-1)^2+3(x-1)|

Gunakan pertidaksamaan segitiga

=|(x-1)^2+3(x-1)|\leq |(x-1)^2|+|3(x-1)|<\delta^2+3\delta

Menggunakan sifat transitif pertidaksamaan a<b dan b<c, maka a<c, diperoleh

|f(x)-L|<\delta^2+3\delta

Gunakan |f(x)-L|<\epsilon untuk mencari \delta yang hanya bergantung pada \epsilon

\delta^2+3\delta=\epsilon

(\delta+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}=\epsilon

(\delta+\frac{3}{2})^2=\epsilon+\frac{9}{4}

\delta+\frac{3}{2}=\sqrt{\epsilon+\frac{9}{4} }

\delta=\sqrt{\epsilon+\frac{9}{4} }-\frac{3}{2}

Tulis bukti formal seperti no 2!

4.\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^2-x+1=1

Kotretan :

|f(x)-L|=|x^2-x+1-1|=|x^2-x|=|x(x-1)|

Muncul x, padahal kitahanya ingin memunculkan (x-1). Bagaimana cara agar yang muncul hanya x-1?

=|x(x-1)|=|(x-1+1)(x-1)|=|(x-1)^2+(x-1)|

Gunakan pertidaksamaan segitiga agar kita bisa peroleh bentuk |x-c|<\delta

=|(x-1)^2+(x-1)|\leq |(x-1)^2|+|(x-1)|

Gunakan bentuk |x-c|<\delta

=|(x-1)^2+(x-1)|\leq |(x-1)^2|+|(x-1)|<\delta^2+\delta

Menggunakan sifat transitif pertidaksamaan a<b dan b<c, maka a<c, diperoleh

|f(x)-L|<\delta^2+\delta

Gunakan |f(x)-L|<\epsilon untuk mencari \delta yang hanya bergantung pada \epsilon

\delta^2+\delta=\epsilon

(\delta+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}=\epsilon

(\delta+\frac{1}{2})^2=\epsilon+\frac{1}{4}

\delta+\frac{1}{2}=\sqrt{\epsilon+\frac{1}{4}}

\delta=\sqrt{\epsilon+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}

Tulis bukti formal seperti no 2!

5.\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^3+3x^2-x-3}{x^2-1}=4

Kotretan :

|f(x)-L|=|\frac{x^3+3x^2-x-3}{x^2-1}-4|=|\frac{x^3+3x^2-x-3}{x^2-1}-4\frac{x^2-1}{x^2-1}|=|\frac{x^3+3x^2-x-3-4x^2+4}{x^2-1}|

=|\frac{x^3-x^2-x+1}{x^2-1}|

Ingat, untuk mencari \delta, kita butuh untuk memunculkan |x-c|<\delta. Tapi, muncul |x^2-1| pada bagian penyebut. Bagaimana untuk menghilangkannya?

Faktorkan bagian pembilang

=|\frac{x^3-x^2-x+1}{x^2-1}|=|\frac{(x-1)(x^2-1)}{x^2-1}|=|x-1|

Gunakan |x-c|<\delta

|f(x)-L|=|x-1|<\delta

Gunakan |f(x)-L|<\epsilon

Maka, pilihlah \delta=\epsilon

Tulis bukti formal seperti no 2!

Kontribusi : Dr. Anwar

Sumber : steemit

About Riad Taufik Lazwardiexcellent

"In the middle of difficulties lies oppoutunities"

Follow Me

Leave a reply