Cara Cerdik Gauss Menjumlahkan Deret

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Ada cerita menarik dari salah seorang Matematikawan berkebangsaan Jerman, Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Saat ia berumur 10 tahun, guru matematikanya memberikan pertanyaan untuk seluruh siswa di kelas. Sang guru memberikan pertanyaan berupa penjumlahan deret dari satu sampai seratus,

“Berapa hayooo nilai dari $1+2+3+4+\cdot\cdot\cdot+100?$ “

kira-kira begitu pertanyaannya. Tanpa membutuhkan waktu yang lama, Gauss yang masih kecil itu langsung menjawab “5050”. Gurunya pun merasa heran dan menduga Gauss melakukan kecurangan saat itu, karena dapat menjawab dalam waktu yang sangat cepat. Namun di luar dugaan, ternyata Gauss menjawab pertanyaan gurunya tersebut dengan teknik yang sangat cerdas! Bagaimana dia menjawabnya? Perhatikan gambar berikut:

Gauss mencoba mengelompokkan suku-suku pada deret tersebut sehingga memiliki nilai yang sama, semisal, $(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+\cdot\cdot\cdot$ dan seterusnya. Mengingat $(1+100)$ nilainya sama dengan $(2+99)$ , $(3+98)$ , $(4+97)$ , dan lainnya. Jadi dapat kita tuliskan:

$1+2+3+\cdot\cdot\cdot+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+\cdot\cdot\cdot +(50+51)$

$=\underset{50x}{\underbrace{101+101+101+\cdot\cdot\cdot + 101}}=101\times 50=5050$ .

Ide yang sangat cantik, ya kan?

Nah Gauss juga memperumum kembali rumus penjumlahan untuk $n$ suku pertama deret positif

$1+2+3+\cdot\cdot\cdot+n$

Caranya mudah, kita definisikan

$S=1+2+3+\cdot\cdot\cdot+(n-2)+(n-1)+n$

$S=n+(n-1)+(n-2)+\cdot\cdot\cdot+3+2+1$

jumlahkan $S$ dengan $S$ menjadi

$2S=\underset{sebanyak'n'}{\underbrace{(n+1)+(n+1)+(n+1)+\cdot\cdot\cdot+(n+1)+(n+1)+(n+1)}}$

$2S=n(n+1)$

$S=\frac{n(n+1)}{2}$

Rumus ini sudah kita kenal sejak SMP sebagai rumus jumlah deret aritmatika. Ide yang luar biasa untuk anak berumur 10 tahun ini membawa Gauss memperoleh julukan The Prince of Mathematics.

Referensi:

Young Gauss and the sum of the first n positive integers. Math and Multimedia. Diakses 20 November 2017. [http://mathandmultimedia.com/2010/09/15]