Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Add post

Add question

Cara Cerdik Gauss Menjumlahkan Deret

Ada cerita menarik dari salah seorang Matematikawan berkebangsaan Jerman, Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Saat ia berumur 10 tahun, guru matematikanya memberikan pertanyaan untuk seluruh siswa di kelas. Sang guru memberikan pertanyaan berupa penjumlahan deret dari satu sampai seratus,

“Berapa hayooo nilai dari 1+2+3+4+\cdot\cdot\cdot+100?

kira-kira begitu pertanyaannya. Tanpa membutuhkan waktu  yang lama, Gauss yang masih kecil itu langsung menjawab “5050”. Gurunya pun merasa heran dan menduga Gauss melakukan kecurangan saat itu, karena dapat menjawab dalam waktu yang sangat cepat. Namun di luar dugaan, ternyata Gauss menjawab pertanyaan gurunya tersebut dengan teknik yang sangat cerdas! Bagaimana dia menjawabnya? Perhatikan gambar berikut:

Gauss mencoba mengelompokkan suku-suku pada deret tersebut sehingga memiliki nilai yang sama, semisal, (1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+\cdot\cdot\cdot dan seterusnya. Mengingat (1+100) nilainya sama dengan (2+99), (3+98), (4+97), dan lainnya. Jadi dapat kita tuliskan:

1+2+3+\cdot\cdot\cdot+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+\cdot\cdot\cdot +(50+51)

  =\underset{50x}{\underbrace{101+101+101+\cdot\cdot\cdot + 101}}=101\times 50=5050.

Ide yang sangat cantik, ya kan?

Nah Gauss juga memperumum kembali rumus penjumlahan untuk n suku pertama deret positif

1+2+3+\cdot\cdot\cdot+n

Caranya mudah, kita definisikan

S=1+2+3+\cdot\cdot\cdot+(n-2)+(n-1)+n

S=n+(n-1)+(n-2)+\cdot\cdot\cdot+3+2+1

jumlahkan S dengan S menjadi

2S=\underset{sebanyak'n'}{\underbrace{(n+1)+(n+1)+(n+1)+\cdot\cdot\cdot+(n+1)+(n+1)+(n+1)}}

2S=n(n+1)

S=\frac{n(n+1)}{2}

Rumus ini sudah kita kenal sejak SMP sebagai rumus jumlah deret aritmatika. Ide yang luar biasa untuk anak berumur 10 tahun ini membawa Gauss memperoleh julukan The Prince of Mathematics.


Referensi:

Young Gauss and the sum of the first n positive integers. Math and Multimedia. Diakses 20 November 2017. [http://mathandmultimedia.com/2010/09/15]

 

Baca Lagi Biar Pinter

  • 80
    Pernah ngebayangin enggak, gimana jadinya kalau roda sepeda berbentuk persegi? Apakah sepeda kita akan mudah bergerak? Jika dapat bergerak, di…
    Tags: $latex, $, yang, matematika, menarik, turunan, limit, integral, tentang, artikel
  • 76
    Kita pasti pernah melakukan percobaan memasak di dapur, mencampur-campurkan bahan makanan dan dengan pede-nya berpikir, "kalau bahan ini ditambah bahan…
    Tags: $latex, yang, $, matematika, menarik, limit, turunan, kalkulus, tentang, artikel
  • 72
    Daerah asal dari fungsi komposisi $latex gof$ adalah himpunan nilai-nilai $latex x$ yang memenuhi sifat berikut: [latexpage] $latex x$ berada…
    Tags: $latex, $, matematika, limit, turunan, kalkulus, menarik, tentang, artikel, integral
  • 72
    Kenapa luas segitiga $latex \frac{1}{2}\times alas\times tinggi$? Rumus luas bangun datar ini begitu sederhana dan mudah diingat, tapi tahukah teman-teman…
    Tags: $latex, $, kalkulus, limit, turunan, integral, menarik, matematika, artikel, tentang
  • 70
    Banyak sekali kesalahan-kesalahan kecil yang kita lakukan ketika mengerjakan soal matematika. Walaupun kesalahannya terbilang sederhana, namun akan berakibat sangat fatal…
    Tags: $latex, $, matematika, turunan, menarik, integral, limit, kalkulus

About Arini Soesatyo Putriclever

Math Addict || Freelance Illustrator || Traveller || Blogger || Hijab Cosplayer || Anime Lover

Follow Me

Leave a reply