Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Login

Register Now

Sistem Bilangan Riil

Jika bertanya, “apa sih objek yang dibahas di dalam kalkulus”? maka jawabannya adalah bilangan riil. Tahu bilangan, kan? itu loh istrinya omlangan, hehe.. (krik krik). Bilangan merupakan konsep di dalam matematika yang digunakan untuk perhitungan, pengukuran dan pencacahan. Himpunan bilangan terbagi ke dalam beberapa kelompok, dan himpunan bilangan terbesar adalah bilangan kompleks, yang memuat di dalamnya himpunan bilangan riil. Ternyata di dalam himpunan bilangan riil juga memuat himpunan bilangan lain, seperti himpunan bilangan irasional, bilangan rasional, bilangan bulat, dan bilangan asli.

Kalkulus 4.JPG

Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks merupakan bilangan yang terbentuk dari bilangan riil dan imajiner (seperti \sqrt{-1}), dan biasanya dinotasikan dengan z atau w, serta dituliskan sebagai z = a+ib. Himpunan bilangan kompleks dinotasikan dengan \mathbb{C}. Kita tidak akan membahas lebih lengkap mengenai bilangan kompleks, karena bukan objek kajian di dalam kalkulus.

Bilangan Riil

Kenapa disebut bilangan riil? Karena sebelumnya bilangan riil belum memiliki nama, namun setelah bilangan imajiner dipelajari, barulah muncul nama bilangan riil (nyata). Himpunan bilangan riil ini dinotasikan dengan \mathbb{R}. Bilangan riil terbagi ke dalam dua bagian, yaitu bilangan rasional dan irasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan ke dalam bentuk \frac{p}{q} dengan q\neq 0, sedangkan bilangan yang tidak dapat dituliskan ke dalam bentuk \frac{p}{q} disebut sebagai bilangan irasional, seperti bilangan \pi, konstanta e, \sqrt{2} dan lain sebagainya. Himpunan bilangan rasional dinotasikan dengan \mathbb{Q}, dan himpunan bilangan irasional dinotasikan dengan \mathbb{I}. Di dalam himpunan bilangan rasional juga terdapat himpunan bilangan bulat yang dinotasikan dengan \mathbb{Z}, contohnya

\cdot \cdot \cdot,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,\cdot \cdot \cdot

dan di dalam himpunan bilangan bulat terdapat himpunan bilangan asli yang dinotasikan dengan \mathbb{N}. Bilangan asli merupakan himpunan bilangan bulat positif tak nol, yakni

1,2,3,4,5,\cdot \cdot \cdot

Sistem bilangan riil adalah himpunan yang dilengkapi dengan operasi biner + (penjumlahan) dan \cdot (perkalian) yang memenuhi tiga aksioma berikut:

  1. Aksioma Lapangan, mengatur berbagai sifat aljabar bilangan real.
  2. Aksioma Urutan, mengatur bilangan positif, negatif, relasi lebih kecil, relasi lebih besar, persamaan, pertidaksamaan dan ketaksamaan.
  3. Aksioma Kelengkapan, mengatur sifat korespondensi satu-kesatu antara bilangan real dan garis lurus.

Sekarang kita akan membahas satu per satu dari sifat-sifat bilangan riil:

Sifat Aljabar. Operasi  penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan riil memenuhi sifat-sifat berikut:

  1.  a+b = b+a. (Sifat komutatif terhadap penjumlahan)
  2.  (a+b)+c = a+(b+c). (Sifat asosiatif terhadap penjumlahan)
  3.  Terdapat 0 di \mathbb{R} memenuhi a+0 = 0+a = a untuk  setiap a di \mathbb{R}. (Memiliki identitas terhadap penjumlahan)
  4.  Untuk setiap a di \mathbb{R} terdapat -a di \mathbb{R}  sehingga a+(-a) = (-a)+a = 0. (Memiliki invers terhadap  penjumlahan)
  5.  a.b = b.a. (Sifat komutatif terhadap perkalian)
  6.  (a.b).c = a.(b.c). (Sifat asosiatif terhadap perkalian)
  7.  Terdapat 1 di \mathbb{R} sehingga 1.a = a.1 = a untuk setiap  a di \mathbb{R}. (Memiliki identitas terhadap perkalian)
  8.  Untuk setiap a,”kecuali a=0″, di \mathbb{R} terdapat 1/a di \mathbb{R} sehingga a.1/a = 1/a. a = 1.  (Memiliki invers terhadap  perkalian)
  9.  a.(b+c) = a.b + a.c untuk setiap a, b, c di \mathbb{R}. (Sifat distributif)

Sifat-Sifat Urutan. Bilangan riil memenuhi sifat-sifat urutan sebagai berikut:

  • Trikotomi. Jika x dan y merupakan bilangan real, maka tepat satu di antara berikut ini yang berlaku:

x>y, x=y, atau x<y.

  • Ketransitifan. Jika x<y dan y<z  maka x<z.
  • Penjumlahan. x<y Jika dan hanya jika x+z < y+z.
  • Perkalian. Misalkan z>0, maka x<y jika dan hanya jika xz<yz, dan untuk z<0 maka x<y jika dan hanya jika xz>yz.

Sifat Kelengkapan. Sifat kelengkapan ini menyatakan bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari \mathbb{R} yang terbatas di atas mempunyai batas atas terkecil atau kita sebut sebagai supremum, dan setiap himpunan bagian tak kosong dari \mathbb{R} yang terbatas di bawah mempunyai batas bawah terbesar atau kita sebut sebagai infimum. Pembahasan mengenai sifat kelengkapan bilangan riil akan kita pelajari lebih lanjut di matakuliah Pengantar Analisis Riil, jadi di sini kita hanya membahas sekilas saja.


Sekarang kita pelajari soal-soal terkait bilangan riil:

Contoh 1. Diberikan himpunan bilangan riil, bilangan irasional, bilangan rasional, bilangan bulat, dan bilangan asli, yakni

\mathbb{R},\mathbb{I},\mathbb{Q},\mathbb{Z},\mathbb{N}

Jelaskan himpunan mana yang merupakan himpunan bagian dari yang lainnya?

Pembahasan: Himpunan bilangan asli \mathbb{N} merupakan himpunan dari semua bilangan bulat positif tak nol. Himpunan bilangan bulat \mathbb{Z} merupakan himpunan dari semua bilangan rasional yang penyebutnya bernilai 1. Himpunan bilangan rasional \mathbb{Q} merupakan himpunan dari semua bilangan yang dapat dibentuk ke dalam pecahan \frac{p}{q} dengan p, q bilangan bulat dan q\neq 0. Himpunan bilangan irasional \mathbb{I} adalah himpunan dari bilangan selain bilangan rasional. Jadi dapat kita tuliskan,

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

dan

\mathbb{I} \subset \mathbb{R}

Contoh 2. Apakah \sqrt{4} \in \mathbb{Q}?

Pembahasan: Benar bahwa \sqrt{4} merupakan bilangan rasional. Kita dapat tuliskan \mathbb{4} sebagai bilangan riil positif x yang memenuhi x^{2} =4. Di satu sisi, kita juga punya 2^{2} = 4, jadi 2=\sqrt{4} yang mana merupakan bilangan bulat. Bilangan bulat merupakan himpunan bagian dari bilangan rasional, karenanya \sqrt{4} \in \mathbb{Q}.

Contoh 3. Apakah 0,99999\cdot \cdot \cdot (angka sembilan berulang terus) merupakan bilangan irasional?

Pembahasan: Pertama-tama kita tuliskan x = 0,99999\cdot \cdot \cdot, kemudian kita kurangkan x dari 1000x, yakni

1000x = 999,99999\cdot \cdot \cdot

                x = 0,99999\cdot \cdot \cdot    –

diperoleh

999x = 999

x = \frac{999}{999}=1

Jadi 0,99999\cdot \cdot \cdot=1 bukan merupakan bilangan irasional, melainkan bilangan rasional.

Catatan: Dari sini kita dapat simpulkan bahwa setiap bilangan desimal yang berulang merupakan bilangan rasional.

Contoh 4Mana dari pernyataan berikut yang benar?

  1. Untuk setiap x di \mathbb{R} maka x^{2}>0.
  2. Untuk setiap x di \mathbb{R}, jika x>0 makax^{2}>0.
  3. Untuk setiap x di \mathbb{R}, jika x^{2}>0 maka x>0.

Pembahasan:

  1. Pernyataan tersebut salah. Jika kita pilih x=0 maka tidak benar bahwa x^{2} >0.
  2. Pernyataan tersebut benar. Karena jika x positif maka x^{2} juga positif.
  3. Pernyataan tersebut salah. Jika kita pilih x=-3 maka (-3)^{2}>0 akan tetapi -3<0.

Contoh 5. Untuk dua bilangan positif a dan b tunjukkan bahwa

\sqrt{ab}\leq \frac{1}{2}(a+b)

Pembahasan: Kita tahu bahwa untuk setiap  a, b di \mathbb{R} berlaku x^{2}>0, maka beranjak dari sana untuk setiap a dan b  kita punya

(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geq0

a-2\sqrt{ab}+b\geq0

a+b \geq 2\sqrt{ab}

\sqrt{ab}\leq \frac{1}{2}(a+b)

Terbukti, deh.

Mau coba kuisnya? Klik di sini

Hidup itu, perjuangan.

lanjut belajar garis bilangan dan interval : here.


Sumber:

Kalkulus edisi 9: Purcell, Verberg, Rigdon

Diktat Kalkulus ITB : Koko Martono

brilliant.org

About animathclever

Comment ( 1 )

  1. 2Krik/0.5sekon

Leave a reply