Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Send Message

Add post

Add question

You must login to ask question.

5. Conditional Statement

Operasi yang perlu dimengerti setelah konjungsi, disjungsi, negasi adalah conditional
statement. Banyak pelajar yang mulai kesulitan memahami logika dari sini,
sehingga arti dari operasi ini harus dipahami dengan sangat berhati-hati. Conditional
statement juga sebuah operasi logika yang menggabungkan proposisi p dengan proposisi
q menjadi satu proposisi majemuk. Operasi ini dilambangkan dengan
p \rightarrow q
dan dibaca ”jika p maka q“.
Misalnya, p: turun hujan, q: sekolah pulang awal, p \rightarrow q: kalau turun hujan, sekolah
pulang awal. Truth table untuk operasi logika ini ditunjukkan di tabel dibawah.

Table 1.16: Truth table for conditional statement

Arti truth table ini bisa diterangkan dari contoh riil di atas. Untuk proposisi: jika
hujan turun, sekolah pulang awal, ada 4 kemungkinan.

  1. kasus 1: nilai p = 0, yang berarti hujan tidak turun, dan nilai q = 0 yang berarti
    sekolah tidak pulang awal. Pada waktu itu nilai (p \rightarrow q) = 1. Ini artinya, kalau
    seorang guru mengatakan pada murid-muridnya, ”kalau turun hujan maka sekolah
    pulang awal”, dan yang terjadi tidak hujan dan sekolah tidak pulang awal, guru
    itu tidak melanggar proposisinya (tidak bohong).
  1. kasus 2: masih memakai contoh di atas, guru itu juga tidak melanggar proposisinya
    waktu yang terjadi hujan tidak turun (p = 0) tapi sekolah pulang cepat (q = 1).
    Kasus 1 dan kasus 2 ini agak membingungkan bagi pelajar pemula logika. Tapi ingat,
    proposisi ini mengatakan tentang apa yang terjadi kalau turun hujan. Proposisi
    ini tidak mengatakan apa-apa tentang apa yang terjadi kalau tidak turun hujan.
    Sehingga, pada waktu hujan tidak turun, apapun yang terjadi tidak membuat
    proposisi ini salah secara logika.
  1. kasus 3: ini satu-satunya kondisi di mana guru yang mengeluarkan proposisi ini
    berbohong. Ini kondisi dimana hujan turun (p = 1) tapi sekolah tidak pulang
    awal (q = 0).
  2. kasus 4: ini kondisi terjelas, di mana hujan turun (p = 1) dan sekolah pulang awal
    (q = 1) yang tentu saja membuat proposisi guru itu benar.

Nilai dari conditional statement dapat diilustrasikan dengan diagram dibawah. Dalam
diagram ini, satu titik yang berada dalam lingkup lingkaran p menandakan kondisi dimana
p = 1, dan yang di luar lingkaran menandakan kondisi di mana p = 0, begitu
pula dengan lingkaran q. Keempat nilai proposisi p \rightarrow q pada tabel 1.16, dilambangkan
dengan titik biru waktu bernilai 1 dan titik merah waktu bernilai 0.

Figure 1.1: Venn Diagram for Conditional Statement

Beberapa sifat penting p \rightarrow q yang perlu dimengerti (bukan dihapal).

  1. Proposisi ini mempunyai ekuivalen yang tidak intuitif sebagai berikut:
    p \rightarrow q \equiv \neg p\vee q, tapi bisa dibuktikan dengan truth table berikut. Dengan contoh di atas, proposisi ”kalau hujan, sekolah pulang awal” bernilai sama dengan proposisi
    ”tidak hujan atau sekolah pulang awal”.
    Untuk contoh yang lebih intuitif, proposisi ”kalau tidak belajar (p), maka tidak
    lulus (q)” bernilai sama dengan proposisi: ”belajar (\neg p) atau tidak lulus (q).
  2. q \rightarrow p disebut converse dari p \rightarrow q, dan juga sebaliknya. Dengan contoh yang sama, ”kalau sekolah pulang awal maka turun hujan” adalah converse dari ”kalau hujan maka sekolah pulang awal”. Kedua proposisi ini tidak equivalent seperti ditunjukkan di tabel berikut.
Table 1.17: Equivalency for conditional statement
Table 1.18: Truth table for converse
  1. \neg p \rightarrow \neg q disebut invers dari p \rightarrow q, dan begitu juga sebaliknya. Dengan contoh
    yang sama, ”kalau tidak hujan maka sekolah tidak pulang awal” adalah inverse
    dari ”kalau hujan sekolah pulang awal”.
    Berhati-hatilah dalam mengartikan suatu proposisi, andaikata ”kalau hujan sekolah
    pulang awal” benar, tidak menjamin bahwa ”kalau sekolah pulang awal maka
    disimpulkan bahwa turun hujan” benar, karena keduanya merupakan proposisi
    yang bernilai tidak sama.
Table 1.19: Truth table for inverse

Dapat dilihat dari truth table di atas bahwa sebuah proposisi dan inversenya
tidak sama.
Dengan contoh yang sama truth table di atas menunjukkan bahwa, kalaupun
proposisi ”kalau hujan sekolah pulang awal” benar, tidak menjamin kebenaran
proposisi ”kalau tidak hujan sekolah tidak pulang awal”, karena kedua proposisi
ini tidak sama. Banyak orang yang melakukan kesalahan logika dengan mengangap
sama suatu proposisi dan inversenya.

4. \neg q \rightarrow \neg p disebut kontrapositif dari p \rightarrow q dan truth table nya sebagai berikut.

Table 1.20: Truth table for contrapositive

Truth table di atas menunjukkan bahwa suatu proposisi ekuivalen dengan kontrapositifnya.
Jadi, ”kalau hujan, sekolah pulang awal” dan ”kalau sekolah tidak
pulang awal artinya tidak hujan” adalah dua proposisi yang sama.Ekuivalen antara p \rightarrow q dengan kontrapositifnya, \neg q \rightarrow \neg p juga dengan
mudah dapat dibuktikan sebagai berikut.
(p \rightarrow q) &\equiv& (\neg p \vee q)\\&\equiv& (q \vee \neg p)\\&\equiv& (\neg q \rightarrow \neg p)

Figure 1.2: inverse, converse dan contrapositive

Hubungan antara proposisi p \rightarrow q dengan converse, inverse dan contrapositive-nya
digambarkan di Fig. 1.2.

  1. apa negasi dari (p \rightarrow q) ? Sulit untuk secara langsung ”membahasakan” sangkalan
    dari (p \rightarrow q). Tapi kita sudah membuktikan bahwa (p \rightarrow q) sama dengan (\neg p\vee q).
    Sehingga, menegasikan (menyangkal) (\neg p \vee q) sama artinya dengan menegasikan
    (p \rightarrow q).

Negasi dari (\neg p \vee q) bisa dilakukan dengan hukum De Morgan sebagai berikut:
\neg (p \rightarrow q) &\equiv& \neg (\neg p \vee q)\\ &\equiv& \neg (\neg p) \wedge \neg q\\&\equiv& p \wedge \neg q
Sehingga negasi dari ”kalau hujan maka sekolah pulang awal” adalah ”hujan (p)
tapi(\wedge) sekolah tidak pulang awal (\neg q). Tidak masalah dalam membahasakan
negasi ini kalau kita mengganti kata ”tapi” dengan ”dan”. Intinya dua kejadian
”hujan” dan ”sekolah tidak pulang awal” terjadi sekaligus.


Review:
• arti dari conditional statement. Kapan proposisi ”jika/kalau *** maka ***” mempunyai
nilai benar dan kapan bernilai salah.
• arti dari converse, invers, dan kontrapositif. Berbeda atau samakah ketiga
proposisi ini dengan proposisi awalnya? Jelaskan.
• apa negasi dari conditional statement? Jelaskan.