Komposisi Fungsi

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Komposisi Fungsi

Kita pernah memisalkan sebuah fungsi itu seperti “mesin blender” yang inputnya adalah bahan makanan/minuman, dan outputnya adalah sebuah makanan/minuman yang baru. Seperti buah melon yang kita olah dengan mesin blender, maka hasilnya berupa secangkir jus melon. Nah sekarang jika jus melon hasil output tadi kita olah kembali dengan mesin baru, katakan “mesin refrigerator” atau pendingin, maka hasilnya kita punya es batu rasa melon.

Apa yang dapat kita simpulkan? ~~kita bisa jualan es batu di rumah mantan~~ Jika kita misalkan mesin blender sebagai fungsi $f$ kemudian mesin refrigerator sebagai fungsi $g$ , dan buah melon sebagai masukan awal $x$ , maka untuk menghasilkan es batu rasa melon, kita bisa mengkomposisikan $g$ dengan $f$ , yang secara matematis kita katakan sebagai komposisi suatu fungsi.

Apa itu Komposisi Suatu Fungsi?

Misalkan $f$ merupakan fungsi yang memetakan dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ , kita bisa tuliskan $f:A\rightarrow B$ . Kemudian kita juga punya fungsi $g$ yang memetakan dari himpunan $B$ ke $C$ , dituliskan $g:B\rightarrow C$ . Nah, Jika $a$ dipetakan oleh $f$ menghasilkan $f(a)$ , dan kemudian $f(a)$ dipetakan oleh $g$ menghasilkan $g(f(a))$ (lihat gambar), maka dapat dikatakan bahwa kita telah mengkomposisikan $g$ dengan $f$ . Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi $g$ dengan $f$ , dinyatakan oleh $gof$ , yakni fungsi yang memetakan dari himpunan $A$ ke himpunan $C$ . Kita bisa tuliskan $(gof)(a)=g(f(a))$ .

Fungsi komposisi ini tidak bersifat komutatif, artinya $(gof)(a)\neq (fog)(a)$ . Contohnya, misalkan $f(x)=\sqrt{x+1}$ dan $g(x)=x^{2}$ , maka

$(gof)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x+1})=(\sqrt{x+1})^{2}=x+1$

akan tetapi

$(fog)(x)=f(g(x))=f(x^{2})=\sqrt{x^{2}+1}$

Jadi $(gof)(x)\neq (fog)(x)$ .

Fungsi komposisi juga memiliki sifat-sifat tersendiri, diantaranya:

Tidak komutatif, yakni $(gof)(x)\neq (fog)(x)$ .

Contohnya telah dibahas sebelumnya.

Asosiatif, yakni $(fo(goh))(x)=((fog)oh)(x)$ .

Contohnya, misalkan diberikan fungsi $f(x)=x^{2}+1, g(x)=\frac{1}{x}$ dan $h(x)=\sqrt{x-2}$ , kita punya

$(fog)(x)=f(g(x))=f(\frac{1}{x})={\frac{1}{x^{2}}}+1$

$(goh)(x)=g(h(x))=g(\sqrt{x-2})=\frac{1}{\sqrt{x-2}}$

jadi

$((fog)oh)(x)=(fog)(h(x))=(fog)(\sqrt{x-2})={\frac{1}{\sqrt{x-2}^{2}}}+1=\frac{1}{x-2}+1$

dan

$(fo(goh))(x)=f((goh)(x))=f(\frac{1}{\sqrt{x-2}})= \frac{1}{\sqrt{x-2}^{2}}+1=\frac{1}{x-2}+1$

Hasilnya, kita punya $((fog)oh)(x)=(fo(goh))(x)$ .

Memiliki identitas, yakni memiliki fungsi identitas $I(x)=x$ sehingga $(foI)(x)=(Iof)(x)=f(x)$ .

Contohnya diberikan fungsi $f(x)=\frac{x^{2}-1}{x+3}$ dan fungsi identitas $I(x)=x$ , maka

$(foI)(x)=f(I(x))=f(x)$ dan $(Iof)(x)=I(f(x))=I(\frac{x^{2}-1}{x+3})=\frac{x^{2}-1}{x+3}=f(x)$

Untuk pemahaman lebih lanjut, perhatikan contoh berikut:

Contoh 1. Diberikan $h(x)=(x-5)^{3}-2(x-5)^{2}+3$ . Tentukan dua fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ sehingga jika dikomposisikan menghasilkan $h(x)$ !

Pembahasan: Fungsi $h(x)$ terlihat ‘sama’ dengan fungsi

$x^{3}-2x^{2}+3$

Bedanya, pada fungsi $h(x)$ nilai yang dipangkatkan adalah $x-5$ . Sekarang kita misalkan $f(x)=x^{3}-2x^{2}+3$ , dan $g(x)=x-5$ . Jadi jika kedua fungsi tersebut kita komposisikan, diperoleh