Medan Arah, Eksistensi dan Ketunggalan Solusi

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Medan Arah, Eksistensi dan Ketunggalan Solusi

Manfaat : Persamaan diferensial membentuk bahasa dalam mengungkap misteri alam ~~gaib~~. Materi ini adalah dasar untuk memahami materi-materi :

Dinamika dan Getaran
Rekayasa Fluida-Termal
Hidrodinamika
Sifat Listrik, Optik, dan Magnetik dari Bahan
Sirkuit dan Elektronik
Fisiologi Kuantitatif: Sel dan Jaringan
Fisika Kuantum I
Mekanika Fluida
Aplikasi Mekanika Kontinum ke Bumi, Atmosfer, dan Ilmu Keplanetan
Rekayasa Terpadu
Analisis I
Pengantar Analisis Numerik
Teknik Biologi II
Ilmu Neutron dan Fisika Reaktor

Kalkulus telah memberitahu kita tentang bagaimana sesuatu itu berubah. Sekarang, teori-teori persamaan diferensial “akan” mengungkap informasi tentang perilaku perubahan jangka panjang dengan mengambil informasi jangka pendek. Jadi, seni dan praktik pada materi persamaan diferensial ini melibatkan langkah-langkah:

“Model” suatu sistem (fisik, kimia, biologi, ekonomi, atau bahkan matematika) melalui persamaan diferensial;
Mendapatkan informasi tentang solusi dari persamaan diferensial;
Menerjemahkan informasi matematika ini kembali ke konteks dunia riil.

Contoh dasarnya adalah hukum Newton,

$F = ma.$

a = akselerasi, yaitu turunan kedua dari x (posisi)

Rumus di atas bisa juga disebut model dari fenomena alam yang melibatkan gaya, massa dan percepatan suatu benda. Dari model ini kita bisa mendapatkan informasi semisal : berapa gaya yang diterima dari suspensi suatu mobil berikut massanya agar terasa nyaman ketika dikendarai. Rumus ini merupakan model sederhana yang simple tapi ampuh dalam dunia–nya.

Dalam tulisan ini kita akan mempelajari ODE (Ordinary Differential Equation) atau biasa kita sebut persamaan diferensial biasa yang hanya melibatkan turunan pertama:

$y '= F (x, y).$

Kemudian kita akan bahas bagaimana mencari y yang memenuhi persamaan di atas dengan cara mengintegralkan dan cara membuat medan gradien.

Contoh 1:

$y '= 2x$

Step by step solution : Itegralkan !

$y = x ^ 2 + c.$

Perhatikan bahwa terdapat banyak solusi. Ini disebabkan karena konstanta c. (konstanta adalah suatu nilai yang sembarang).

note : solusi yang melibatkan konstanta (c di sini) disebut SOLUSI UMUM.

Contoh 2:

$y '= ky$

Solusi Umum: $y = Ce ^ {kx}$ .

note : $e ^ x$ adalah solusi dari persamaan diferensial $y '= y$ sedemikian rupa sehingga $y (0) = 1$ .

Latihan 1:

Apa solusi umum untuk ODE

$\frac{dy} { dx} = 2y +1$ ?

1. $y = Ce ^ {2x} - 1$
2. $y = Ce ^ {x / 2} - 2$
3. $x = y ^ 2 + y + c$
4. $y = e ^ {x / 2} + C$
5. $y = Ce ^ {2x} - 1$
6. $y = Ce ^ {2x} - 1/2$
7. $y = e ^ {2x} + c$
8. Tidak ada di atas

Metode Pemisahan Variabel

Step by step : Letakkan semua x di satu sisi dan y di sisi lain (jika mungkin), yaitu :

$\frac{dy }{(2y + 1)} = dx$

Integrasikan kedua belah pihak:

$\frac{1}{2} ln | 2y + 1 | + c1 = x + c2$

Gabungkan konstanta dan (jika mungkin) cari y dengan bentuk eksplisit :

$ln | 2y + 1 | = 2x + c$ ,

$| 2y + 1 | = e ^ c e ^ {2x},$

$2y + 1 = C e ^ {2x}$

$y = C e ^ {2x} - 1/2$

Jadi jawabannya adalah: no 6

note : Kita bisa memeriksa apakah jawaban kita benar atau tidak !

$y '= 2 C e ^ {2x} = 2 (y + 1/2) = 2y + 1$

Ini adalah trik bagus dalam menyelesaikan persamaan diferensial secara umum yaitu periksa jawaban mu. Seandainya soal kalian berupa pilihan ganda, kalian cukup menurunkan semua kemungkinan yang ada dari pilihan ganda.

Pertanyaan : Apakah $y '+ xy = x$ dapat dipisahkan variabel x dan y nya?

1. Ya
2. Tidak

Ya,

$y '= x - xy = x (1-y)$

jadi

$\frac{dy}{ (1-y)} = x dx$

Sekarang kita akan melihat banyak metode lain untuk menyelesaikan berbagai jenis persamaan diferensial. Sayangnya, sebagian besar persamaan diferensial di kehidupan nyata tidak dapat dipecahkan secara eksplisit, dan seringkali kita tidak terlalu peduli dengan solusi eksplisit seperti tentang sifat-sifat umum.

Metode Pendekatan Grafis (Visual)/Software/Medan Arah/Medan gradien

$y '= F (x, y)$ secara visual merupakan kemiringan di setiap titik (x,y) di bidang cartesius sb-x dan sb-y. Nah, kemiringan di setiap titik pada bidang ini disebut Medan Arah atau Medan Gradien.

Contoh :

$y '= 2x$

Gambar di atas adalah bidang arah/medan arah/medan slope/phase plane dari $y'=2x$ . Saya sendiri lebih suka menyebutnya kumpulan kemiringan dari persamaan $y'=2x$ di setiap titik $(x,y)$ .

Perhatikan bahwa F (x, y), yaitu 2x, merupakan kemirinagn yang tidak tergantung pada y. Ini bisa dilihat secara vertikal tidak ada perubahan.

Nah, SOLUSI dari persamaan diferensial adalah fungsi yang grafiknya memiliki kemiringan pada setiap titik yang dilaluinya, yaitu

Grafik dari solusi persamaan integral disebut KURVA INTEGRAL.

Jadi, grafik dari $y(x) = c_1 + x^2$ untuk sebarang $c_1$ disebut kurva integral. Mereka adalah parabola bersarang secara vertikal. Penerjemahan invarian bidang arah tercermin dalam fakta bahwa terjemahan vertikal suatu solusi adalah solusi lain.

Untuk menentukan solusi tertentu (khusus) dari ODE, kamu harus memberikan KONDISI AWAL/KONDISI BATAS: ketika x mengambil nilai tertentu dan y mengambil nilai tertentu.

Misalnya

$y '= y$

Saya menggambar bidang arah dan diperoleh gambar berikut :

Perhatikan kemiringannya F (x, y) tidak bergantung pada x di sini. Tetap secara horizontal.

Contoh 3:

$y '= y ^ 2 - x.$

Persamaan ini tidak mempunyai solusi dalam fungsi yang sederhana . Meskipun demikian kita dapat mengatakan hal-hal menarik mengenai solusi-nya.

Untuk menggambar bidang arah, cari di mana F (x, y) adalah konstan, katakanlah m. Ini disebut ISOCLINE.

Misalnya :

m = 0 : $x = y ^ 2$ . Saya menggambar di bidang arah dan kurva $x = y ^ 2$ yang berwarna kuning seperti berikut :

m = 1 : $x = y ^ 2 - 1$

Untuk m = -1, yaitu titik-titik yang mempunyai kemiringan -1, jika dikumpulkan akan membentuk kurva : $x = y ^ 2 + 1.$

Medan arah dari sb-x -5 sampai 5

Saya menggambar beberapa kurva solusi yang berwarna biru sebagai berikut :

Kami telah melihat pada setiap titik (x,y) akan dilalui oleh satu kurva solusi.

TEORI EKSISTENSI DAN UNIK UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA:

$y '= F (x, y)$

memiliki tepat satu solusi sehingga y (a) = b, untuk setiap (a, b) di wilayah di mana F didefinisikan dengan syarat F(x,y) kontinyu.(Solusi y (x) mungkin hanya ada untuk x dekat dengan a.) (Anda benar-benar harus meletakkan beberapa kondisi teknis pada F – lihat EP.)

Teorema Eksistensi dan Ketunggalan mengatakan bahwa hanya ada satu kurva integral pada setiap titik:

SETIAP TITIK YANG TERLETAK PADA BIDANG HANYA DILALUI OLEH SATU KURVA INTEGRAL:

Applet/software lainnya membuat banyak KURVA INTEGRAL yang tampak seperti menyatu, ini disebabkan masalah piksel. Pada kenyataannya mereka terpisah, tetapi sangat dekat satu sama lain. Banyak yang tampaknya berkumpul di bagian bawah cabang parabola.

What does it mean?

Jika saya menggambar hanya isoclines m = -1 dan m = 0 diperoleh gambar berikut :

Begitu suatu solusi terjadi di antara kedua parabola ini, ia tidak akan pernah bisa lepas. Hal yang buruk tidak dapat melewati m = -1 parabola karena itu seharusnya memiliki kemiringan lebih besar dari -1 saat itu; dan itu tidak bisa melewati m = 0 parabola karena harus memiliki kemiringan kurang dari nol ketika itu terjadi.

Ini FUNNEL.

Jadi solusi di wilayah itu tetap di wilayah itu: mereka terperangkap di antara kedua parabola, yang asimptotik ketika x menuju tak hingga. Semua solusi ini menjadi sangat dekat dengan fungsi $\sqrt {x}$ untuk x yang besar. Ini adalah situasi yang ideal! kita tahu, kira-kira, tetapi dengan meningkatnya akurasi, tentang perilaku jangka panjang, ini merupakan solusi, dan jawabannya tidak tergantung pada kondisi awal (selama karena Anda berada dalam kisaran ini). Ini disebut “stabilitas.” (Tentu saja kalau solusinya tidak terjebak, ini cerita yang berbeda.)

Catatan :

Salah satu solusi dari persamaan $y '= y ^ 2 - x.$

bisa dicari dari dengan cara $y'=0$ , yaitu $0= y ^ 2 - x \Rightarrow y=\sqrt{x}$

Bidang arah memungkinkan kamu memvisualisasikan perilaku kualitatif solusi untuk persamaan diferensial, dan ini sering apa yang ingin kamu ketahui.

Mencari Medan Arah Menggunakan Software Maple :

1.https://www.maplesoft.com/applications/view.aspx?SID=4853&view=html

Mencari Medan Arah Menggunakan Software Matlab :

2.http://educ.jmu.edu/~strawbem/Phase_how_to.pdf

Mencari Medan Arah Menggunakan Wolfram Alpha :

3.https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27+%3D+y%5E2-x

Mencari Medan Arah Menggunakan Mathlets

4.https://mathlets.org/mathlets/isoclines/

(under revision)

Eksistensi makhluk di muka bumi telah ditetapkan dan peluang mendapatkan rezeqinya adalah 100% bila berusaha.