Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Send Message

Add post

Add question

You must login to ask question.

4. Ekuivalen, Tautologi dan Kontradiksi

Masih ada satu operasi lagi yang harus dibahas, tapi untuk sementara untuk kelancaran
alur belajar, penjelasan untuk operasi baru ini dikesampingkan.
Dua proposisi majemuk p dan q bernilai sama (equivalent) kalau keduanya mempunyai
nilai yg sama pada semua semua komposisi nilai proposisi dasarnya, dan dilambangkan
dengan p \equiv q.

Table 1.5: Truth table: example of equivalence 1

Contoh (p \wedge q) \equiv (q \wedge p) yang dibuktikan dengan truth table di bawah.
Ini artinya, proposisi ”saya makan sate dan soto” sama nilainya dengan ”saya makan
soto dan sate”.


Hukum De Morgan (De Morgan’s law)
\neg (p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q
Formula di atas bukan sesuatu yang harus dihapal, tetapi sesuatu yang harus dimengerti
artinya dan dibuktikan kebenarannya. Pertama, apa arti formula logika
di atas ? Persamaan di atas menyatakan bahwa: kalau kita menyangkal satu
proposisi yang bunyinya: ”p dan q” maka sanggahan kita akan berbunyi, ”bukan
p atau bukan q”. Sanggahan dari ”saya makan sate dan soto” berbunyi, ”saya
tidak makan sate atau saya tidak makan soto”. Untuk menyanggah proposisi
awal cukup bagi kita untuk tidak makan salah satunya. Sanggahan ini belum
tentu berarti bahwa kita tidak makan kedua-duanya. Hal ini harus dibuktikan
dengan truth table.

Table 1.6: Truth table: De Morgan(1)

Seperti sudah tertulis di atas, negasi ini tidak berbunyi: ”Saya tidak makan
keduanya” yang dilambangkan dengan \neg p \wedge \neg q, dan dapat dibuktikan dengan
truth table berikut yang menunjukkan bahwa \neg (p \wedge q) tidak sama dengan \neg p \wedge \neg q.
\neg (p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q
Hukum De Morgan kedua ini juga bukan untuk dihapal tapi dimengerti artinya.
Hukum ini menyatakan bahwa: negasi dari proposisi ”p atau q”, berbunyi ”bukan
p dan bukan q”. Jadi sangkalan dari ”saya makan sate atau soto” berbunyi ”saya
tidak makan keduanya”. Ini perlu dibuktikan dengan truth table di bawah.

Table 1.7: Truth table: Wrong equivalence for De Morgan’s law(1)
Table 1.8: Truth table: De Morgan(2)

Negasi proposisi ini tidak berbunyi: ”Saya tidak makan sate atau saya tidak
makan soto” yang dapat dibuktikan dengan truth table dibawah, dimana bisa
kita lihat bahwa \neg (p \vee q) tidak sama dengan \neg p \vee \neg q,

Table 1.9: Truth table: Wrong equivalence for De Morgan’s law(2)

Hukum De Morgan memberi aturan logika tentang negasi (penyangkalan) proposisi
majemuk yang dihubungkan dengan ”dan” serta ”atau”. Kita perlu sangat berhati-hati
dalam menyangkal proposisi. Sebelum menyangkal, kita perlu tahu bagaimana ”bunyi”
dari hasil sangkalan tersebut. Sering perdebatan sangat cepat turun kelas menjadi debat
kusir yang tidak logis, karena pendebat asal menyangkal tanpa mengerti apa bunyi
sangkalannya secara logika.


Contoh berikut tentang equivalency adalah berlakunya hukum asosiatif dalam proposisi
majemuk yang melibatkan tiga proposisi awal p, q dan r sebagi berikut.
p \wedge (q \wedge r) \equiv (p \wedge q) \wedge r
Sama seperti pada aritmatika dasar, ( ) digunakan untuk menggambarkan prioritas
operasi hitung. Formula di atas menyatakan bahwa untuk tiga proposisi yang dihubungkan dengan dua ”dan”, misalnya saya makan sate, soto dan gado-gado, prioritas
operasi ”dan” ini tidak mengubah arti. Ini bisa dibuktikan dengan truth table di
bawah.

Table 1.10: Truth table: Associative law

Contoh berikut adalah hukum distribusi sebagai berikut.
(p \wedge q) \vee r ≡ (p \vee r) \wedge (q \vee r)
Misalnya ”saya makan sate dan soto atau saya makan gado-gado” mempunyai arti
yang sama dengan ”saya makan sate atau gado-gado dan saya makan soto atau gado-gado”.

Table 1.11: Truth table: Distributive law

Tautology dalam logika didefinisikan sebagai proposisi yang nilainya selalu 1 (benar).
Perlu dimengerti bahwa tautology dalam logika berbeda dengan tautology dalam
ilmu bahasa. Satu contoh tautology p \vee \neg p yang dapat ditunjukkan dengan tabel di
bawah.

Table 1.12: Example of tautology(1)

Dalam contoh sehari-hari proposisi semacam: ”Saya makan sate atau tidak makan
sate” tidak mungkin salah, karena kalau ”saya makan sate” nilainya benar, maka ”saya
tidak makan sate” nilainya salah, dan menggabungkan keduanya dengan ”atau” akan
menghasilkan nilai benar, begitu pula sebaliknya.
Contoh lain dari tautology misalnya p \vee 1, dimana ”1” melambangkan proposisi
yang nilainya pasti benar, seperti ”besok pagi matahari terbit dari timur”. Truth table
dari p \vee 1 sebagai berikut.

Table 1.13: Example of tautology(2)

Jadi proposisi ”saya makan sate atau besok matahari terbit dari timur” nilainya
selalu benar.
Contradiction (kontradiksi) dalam logika didefinisikan sebagai proposisi yang nilainya
selalu salah. Misalnya: p \wedge \neg p yang nilainya ditunjukkan dengan truth table di
bawah.

Table 1.14: Example of contradiction

Dalam contoh nyata, proposisi: ”Saya makan sate sekaligus tidak makan sate”,
tidak mungkin benar, karena kalau ”saya makan sate” benar, maka ”saya tidak makan
sate” harus salah dan menggabungkan keduanya dengan ”dan” menghasilkan proposisi
dengan nilai salah. Begitu pula sebaliknya.
Contoh lain dari contradiction misalnya p \wedge 0, dimana 0 melambangkan proposisi
yang pasti salah, seperti: ”besok matahari terbit dari barat” yang truth tablenya sebagai
berikut.

Table 1.15: Example of contradiction(2)

Review:
• Arti dari equivalency: kapan dua proposisi bernilai sama?
• cara menggunakan truth table untuk menentukan equivalency dua proposisi
• Arti dari hukum De Morgan: hati-hati dalam menyangkal
• Arti dari tautology dan contradiction

Soal Latihan
Buktikan formula logika berikut.

  1. (p \vee q) \wedge r \equiv (p \wedge r) \vee (q \wedge r)
  2. ¬(p \vee (q \wedge r)) \equiv (¬p \wedge ¬q) \vee (¬p \wedge ¬r)
  3. (p \vee q) \vee (¬p \wedge ¬q) adalah tautology.
  4. (p \vee q) \wedge (¬p \wedge ¬q) adalah contradiction.
  5. p \vee 0 \equiv p
  6. p \wedge 1 \equiv p
  7. ¬(p \wedge q \wedge r) \equiv ¬p \vee ¬q \vee ¬r
  8. ¬(p \vee q \vee r) \equiv ¬p \wedge ¬q \wedge ¬r