Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Login

Register Now

Limit Fungsi Floor

Selain bertemu dengan limit dari fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi irasional dan fungsi trigonometri, kita juga akan belajar bagaimana cara menyelesaikan limit dari fungsi floor. Tapi perlu digaris bawahi, di setiap titik yang merupakan bilangan bulat maka fungsi floor ini tidak memiliki limit lho! Mengapa demikian?

Kita sudah belajar bahwa fungsi floor, dinotasikan dengan \left\lfloor x\right\rfloor, merupakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Contohnya, \left\lfloor 1,7\right\rfloor =1, \left\lfloor 3\right\rfloor =3, \left\lfloor -1,4 \right\rfloor =-2 dan lain sebagainya. Jadi kita peroleh gambar grafik dari fungsi floor sebagai berikut

Untuk setiap n bilangan bulat, maka f(n) jelas terdefinisikan, akan tetapi \lim_{x\rightarrow n} \left\lfloor x\right\rfloor tidak ada. Sebagai contoh, kita dapat lihat dalam grafik bahwa

\lim_{x\rightarrow 1^{-}} \left \lfloor x\right\rfloor =0    akan tetapi    \lim_{x\rightarrow 1^{+}} \left\lfloor x\right\rfloor =1

Jadi limit kiri tidak sama dengan limit kanan, akibatnya \lim_{x\rightarrow 1} \left\lfloor x\right\rfloor tidak ada. Lebih lanjut kita peroleh persamaan

\lim_{x\rightarrow n^{-}} \left\lfloor x\right\rfloor =n-1

dan

\lim_{x\rightarrow n^{+}} \left\lfloor x\right\rfloor =n

serta ketaksamaan yang berlaku pada fungsi floor, yakni

n-1<\left\lfloor n\right\rfloor \leq n

Nah, di dalam praktiknya nanti, persamaan dan ketaksamaan di atas akan sangat berguna untuk menyelesaikan limit dari fungsi floor.

Menyelesaikan Limit Fungsi Floor

Selanjutnya kita akan melihat bagaimana cara menyelesaikan limit fungsi floor.

Contoh 1. Carilah \lim_{x\rightarrow 1/2} \left\lfloor x\right\rfloor.

Pembahasan: Karena fungsi floor memiliki limit di setiap x selain bilangan bulat, maka kita hanya perlu menerapkan Teorema Substitusi pada limit, menjadi

\lim_{x\rightarrow 1/2} \left\lfloor x\right\rfloor =\left\lfloor 1/2\right\rfloor =\left\lfloor 0,5\right\rfloor =0

Contoh 2. Hitunglah \lim_{x\rightarrow -2} \left\lfloor x\right\rfloor (jika ada!).

Pembahasan: Karena x menuju suatu bilangan bulat, maka kita harus curigai bahwa limit fungsi floor tersebut tidak ada. Kita peroleh limit kiri nya sebagai,

\lim_{x\rightarrow -2^{-}} \left\lfloor x\right\rfloor=-2-1=-3

akan tetapi limit kanan nya adalah

\lim_{x\rightarrow -2^{+}} \left\lfloor x\right\rfloor=-2=-2

Karena limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka dapat disimpulkan bahwa limit nya tidak ada.

Contoh 3. Tentukan \lim_{x\rightarrow 2} \left\lfloor x\right\rfloor -x (jika ada!).

Pembahasan: Karena x menuju suatu bilangan bulat, maka kita curigai bahwa limt dari fungsi floor tersebut tidak ada dengan meninjau limit kiri dan limit kanan nya. Perhatikan bahwa

\lim_{x\rightarrow 2^{-}} \left\lfloor x\right\rfloor -x=(\lim_{x\rightarrow 2^{-}} \left\lfloor x\right\rfloor )-(\lim_{x\rightarrow 2^{-}} x)=(2-1)-(2)=-1

akan tetapi

\lim_{x\rightarrow 2^{+}} \left\lfloor x\right\rfloor -x=(\lim_{x\rightarrow 2^{+}} \left\lfloor x\right\rfloor )-(\lim_{x\rightarrow 2^{+}} x)=(2)-(2)=0

Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan, akibatnya limit dalam soal tidak ada.

Contoh 4. Selesaikanlah \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left\lfloor x\right\rfloor +10}{n-5}.

Pembahasan: Ketika menentukan limit untuk x\rightarrow\infty dari fungsi floor, maka kita dapat menggunakan dua alat bantu. Pertama adalah ketaksamaan yang berlaku pada fungsi floor (seperti yang sudah dijelaskan di atas), dan kedua adalah Teorema Apit. Perhatikan kembali ketaksamaan berikut

n-1<\left\lfloor n\right\rfloor \leq n

Tambahkan ketiga ruas dengan 10 menjadi

n+9<\left\lfloor n\right\rfloor +10 \leq n+10

Kemudian kalikan ketiga ruas dengan \frac{1}{n-5} (dengan asumsi n>5), sehingga menghasilkan

\frac{n+9}{n-5}<\frac{\left\lfloor n\right\rfloor +10}{n-5} \leq \frac{n+10}{n-5}

Beri limit n\rightarrow\infty pada ketiga ruas, didapat

\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n+9}{n-5}<\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left\lfloor n\right\rfloor +10}{n-5} \leq \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n+10}{n-5}

Karena  \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n+9}{n-5}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n+10}{n-5}=1, maka berdasarkan Teorema Apit kita punya

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left\lfloor x\right\rfloor +10}{n-5}=1

 

About Arini Soesatyo Putriclever

Math Addict || Freelance Illustrator || Traveller || Blogger || Hijab Cosplayer || Anime Lover

Follow Me

Leave a reply