Selain bertemu dengan limit dari fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi irasional dan fungsi trigonometri, kita juga akan belajar bagaimana cara menyelesaikan limit dari fungsi floor. Tapi perlu digaris bawahi, di setiap titik yang merupakan bilangan bulat maka fungsi floor ini tidak memiliki limit lho! Mengapa demikian?
Kita sudah belajar bahwa fungsi floor, dinotasikan dengan , merupakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan
. Contohnya,
dan lain sebagainya. Jadi kita peroleh gambar grafik dari fungsi floor sebagai berikut
Untuk setiap bilangan bulat, maka
jelas terdefinisikan, akan tetapi
tidak ada. Sebagai contoh, kita dapat lihat dalam grafik bahwa
akan tetapi
Jadi limit kiri tidak sama dengan limit kanan, akibatnya tidak ada. Lebih lanjut kita peroleh persamaan
dan
serta ketaksamaan yang berlaku pada fungsi floor, yakni
Nah, di dalam praktiknya nanti, persamaan dan ketaksamaan di atas akan sangat berguna untuk menyelesaikan limit dari fungsi floor.
Menyelesaikan Limit Fungsi Floor
Selanjutnya kita akan melihat bagaimana cara menyelesaikan limit fungsi floor.
Contoh 1. Carilah .
Pembahasan: Karena fungsi floor memiliki limit di setiap selain bilangan bulat, maka kita hanya perlu menerapkan Teorema Substitusi pada limit, menjadi
Contoh 2. Hitunglah (jika ada!).
Pembahasan: Karena menuju suatu bilangan bulat, maka kita harus curigai bahwa limit fungsi floor tersebut tidak ada. Kita peroleh limit kiri nya sebagai,
akan tetapi limit kanan nya adalah
Karena limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka dapat disimpulkan bahwa limit nya tidak ada.
Contoh 3. Tentukan (jika ada!).
Pembahasan: Karena menuju suatu bilangan bulat, maka kita curigai bahwa limt dari fungsi floor tersebut tidak ada dengan meninjau limit kiri dan limit kanan nya. Perhatikan bahwa
akan tetapi
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan, akibatnya limit dalam soal tidak ada.
Contoh 4. Selesaikanlah .
Pembahasan: Ketika menentukan limit untuk dari fungsi floor, maka kita dapat menggunakan dua alat bantu. Pertama adalah ketaksamaan yang berlaku pada fungsi floor (seperti yang sudah dijelaskan di atas), dan kedua adalah Teorema Apit. Perhatikan kembali ketaksamaan berikut
Tambahkan ketiga ruas dengan 10 menjadi
Kemudian kalikan ketiga ruas dengan (dengan asumsi
), sehingga menghasilkan
Beri limit pada ketiga ruas, didapat
Karena , maka berdasarkan Teorema Apit kita punya
Kehidupan abadi adalah kehidupan akhirat
Leave a reply