Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Add question

Login

Register Now

Your data is secured. So, please complete the form.

Selang Kepercayaan

Untuk memahami apa itu selang kepercayaan, apa manfaatnya dan bagaimana membuatnya, kita mesti tahu dulu

  1. Bagaimana menaksir parameter populasi dari data sampel.

Contoh :  Menaksir rata-rata pendapatan masyarakat Indonesia.

Salah satu caranya adalah kita mengambil sampel kemudian menaksir parameter rata-rata populasi dari data sampel yang ada.

sumber : toward data science

Nah, agar taksiran kita tepat caranya adalah

  1. Ambil sampel yang banyak
Apabila sampel yang didapat sedikit, apakah bisa menaksir parameter populasi dengan tepat?

Bisa, dengan syarat teknik sampel yang kita pakai tepat.

Bagaimana ciri-ciri teknik sampel yang tepat?

Sifat-sifat dari data sampel yang diperoleh, sama dengan sifat-sifat data populasi.

Misalnya variasi data sampel sama dengan variasi data populasi.

Sangat mungkin terjadi apabila kita menggunakan teknik sampel yang berbeda akan menghasilkan taksiran parameter yang berbeda.

Selalu ada error ketika kita mengambil kesimpulan dari data sampel.

sumber : Dr. Nich’s Math And Stats

Catatan : jika data populasi berdistribusi normal, meskipun kita berulang kali  mengambil sampel maka kesimpulan yang diperoleh tetap sama (central limit theorem).

Apa hubungannya dengan selang kepercayaan?

Karena selalu ada error, maka akan lebih tepat apabila kita menggunakan selang atau interval untuk menaksir parameter populasi.

Sumber : 365 Data Science

Contoh : Berapakah rata-rata pendapatan masyarakat Indonesia?

Misalkan kita ambil sampel 10 orang.  Kemudian diperoleh rata-rata pendapatan 10 orang ini adalah 5 jt. Maka kesimpulan manakah yang benar?

  1. Pendapatan masyarakat Indonesia rata-rata 5jt/bulan
  2. Pendapatan masyarakat Indonesia rata-rata 4jt-6jt/bulan
  3. Pendapatan masyarakat indonesia rata-rata 1jt-10jt/bulan

Nah, kita tahu bahwa kemungkinan pendapatan rata-rata masyarakat Indonesia tepat 5jt sangatlah kecil. Jadi akan lebih bijak apabila kita menebak rata-rata pendapatan masyarakat Indonesia menggunakan interval.

Contoh rata-rata pendapatan masyarakat Indonesia antara 4jt sampai 6jt.

Semakin lebar intervalnya, maka semakin jelek (errornya besar). Dengan kata lain,  jika kita berhasil menaksir parameter populasi dengan interval yg kecil maka taksirannya semakin bagus.

Apa yang berpengaruh terhadap lebarnya selang kepercayaan? Atau
Error disebabkan oleh faktor apa saja?
  1. Jumlah sampel
  2. Variasi data populasi
  3. Seberapa besar keinginan kita untuk mempercayai hasil,  atau
  4. \alpha, yaitu maksimum toleransi error (ketika menolak hipotesi null)

Asumsi :

  • Jika jumlah sampel besar, errornya kecil sehingga selang kepercayaannya kecil.
  • Jika variasi data populasi kecil, maka kemungkinan besar variasi data sampel juga akan kecil. Sehingga hasil taksiran rata-rata dari data sampel akan mendekati rata-rata populasi.

Data populasi dengan variasi data yang kecil akan mengakibatkan selang kepercayaan yang kecil. Sehingga taksiran yg kita buat akan lebih tepat.

Mengkontruksi error estimasi parameter rata-rata

Ingat :

  1. Semakin banyak sampel, semakin tepat taksiran, error semakin kecil
  2. Semakin kecil variasi data populasi, semakin tepat taksiran, error semakin kecil

Formula :

\textrm{Error}=\frac{\textrm{standar deviasi}}{\sqrt{n}}

n : jumlah sampel

Catatan : standar deviasi diperoleh dari hasil akar variansi.

Rata-rata populasi seharusnya berada diantara rata-rata sampel ditambah error dan rata-rata sampel dikurangi errror.

Sehingga akan diperoleh selang kepercayaan sebagai berikut :

\overline{x}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\bar{x}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

\mu:rata-rata populasi

\bar{x}:rata-rata sampel

\frac{\sigma}{\sqrt{n}}:error

Masukan pengaruh taraf signifikansi error \alpha terhadap selang kepercayaan

\bar{x}-Z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\bar{x}+Z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Contoh menghitung rata-rata populasi dengan diketahui rata-rata sampel, jumlah sampel dan variansi populasi

Misal populasi berdistribusi normal dengan rata-rata populasi \mu dengan variasi data populasi 80. Jika kita mempunyai sampel sebanyak 20  dan rata-rata sampel 81.2, taksir rata-rata populasi dengan menggunakan selang kepercayaan dengan maksimal toleransi eror 0,05 (\alpha=0,05)!

Jawab.

\bar{x}-Z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\bar{x}+Z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

81,2-Z_{\frac{0.05}{2}}\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{20}}<\mu<81,2+Z_{\frac{0,05}{2}}\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{20}}

81,2-Z_{\frac{0.05}{2}}\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{20}}<\mu<81,2+Z_{\frac{0.05}{2}}\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{20}}

81,2-1,96.2<\mu<81,2+1,96.2

77,28<\mu<85,12

Jadi kita yakin 95% bahwa rata-rata populasi berada diantara 77,28 dan 85,12

Bagaimana mencari nilai Z?  Kenapa harus ribet-ribet pakai tabel?

Seandainya tabel distribusi normal tidak ada, maka untuk mencari peluang fungsi normal harus menggunakan formula

\int_{-\infty}^x\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{\frac{-1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}dx

Ribet banget kan ya?

By the way,  cara penulisan yang benar terkait peluang bahwa 77,28<\mu<85,12 yakin 95% adalah

P(77,28<\mu<85,12)=95\%

atau

P(\bar{x}-Z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\bar{x}-Z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})=1-\alpha

atau

P(Z_{-\frac{\alpha}{2}}<Z<Z_{\frac{\alpha}{2}})=1-\alpha

Z=\frac{\bar{x}-\mu}{error}

Sebenarnya ada berapa cara menghitung selang kepercayaan ?
  1. Cara Informal
  2. Cara Traditional Normal- Based
  3. Bootstrapping

Catatan : Contoh di atas adalah contoh menghitung selang kepercayaan dengan cara tradisional Normal-Based dengan asumsi populasi berdistribusi normal.

Sebenarnya ada berapa cara mengetahui parameter populasi ?
  1. Cara Penaksiran
  2. Cara Pengujian Hipotesis

 

Sumber : quickmeme

Berbuat baiklah kepada orang tua! Ingatlah kisah seseorang yang menderita ketika sakaratul maut dikarenakan ibu yang masih belum memaafkan

 

About Riad Taufik Lazwardiclever

Lecturer of Mathematics at 1. Kalbis Institute | Managed by Binus (2018-now) 2. Telkom University (2017-2018) 3. UIN Bandung (2015-2018)

Follow Me

Leave a reply