Persamaan Lingkaran

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Persamaan Lingkaran

Rumus jarak dari dua titik pada koordinat Kartesius akan membawa kita ke ~~masa depan yang lebih cerah~~ dalam sebuah persamaan baru yang dinamakan persamaan lingkaran. Sebelum membahas persamaan lingkaran, kita harus kenalan dulu nih sama lingkaran.

Apa itu lingkaran?

Lingkaran merupakan himpunan titik yang mempunyai jarak yang sama terhadap titik pusat.

Jika kita letakkan lingkaran tersebut ke dalam koordinat Kartesius, maka:

Misalkan titik $P$ merupakan titik pusat dari lingkaran dalam gambar. Panjang jari-jari atau panjang sisi $PQ$ dapat kita peroleh dengan rumus jarak

$r = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}$

dengan $r$ menotasikan jari-jari lingkaran. Jika kedua ruas persamaan tersebut kita kuadratkan, maka diperoleh

$r^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}$

Persamaan tersebut merupakan persamaan baku lingkaran yang berjari-jari $r$ dan titik pusat di $(x_{1}, y_{1})$ . Kita juga dapat mengubah notasi dalam persamaan lingkaran di atas menjadi

$r^{2}=(x-h)^{2} + (y-k)^{2}$

yang artinya persamaan lingkaran tersebut berjari jari $r$ dan titik pusatnya di $(h,k)$ .

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Terkadang kita akan menemukan bentuk persamaan lingkaran yang agak berbeda dari bentuk bakunya, yakni

$r^{2}=(x-h)^{2} + (y-k)^{2}$

Ambil contoh, persamaan lingkaran dengan jari-jari $r=5$ , dan titik pusatnya di $(2,3)$ yang memiliki persamaan

$(x-2)^{2} + (y-3)^{2}=5^{2}$

Jika kita jabarkan kembali bentuknya, didapat

$(x^{2}-4x+4)+(y^{2}-6y+9) = 25$

$x^{2}+y^{2}-4x-6y+4+9 = 25$

$x^{2}+y^{2}-4x-6y-12= 0$

persamaan $x^{2}+y^{2}-4x-6y-12= 0$ juga merupakan persamaan lingkaran tapi dalam bentuk yang agak samar-samar. Jadi, jika kita menemukan bentuk yang sama seperti persamaan tersebut, kita harus langsung menebak, “Itu pasti persamaan lingkaran!“, karena ternyata persamaan lingkaran juga punya bentuk umumnya, yakni

$x^{2} + y^{2} + Ax+Bx+C = 0$

Mengubah Bentuk Umum ke Bentuk Baku

Nah, sekarang kita belajar bagaimana caranya mengubah bentuk umum persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + Ax+Bx+C = 0$ menjadi bentuk baku $r^{2}=(x-h)^{2} + (y-k)^{2}$ dengan cara melengkapi kuadrat. Untuk melengkapi kuadrat $x^{2} \pm Ax$ , tambahkan $(\frac{A}{2})^{2}$ . Untuk melengkapi kuadrat $y^{2} \pm By$ , tambahkan $(\frac{B}{2})^{2}$ . Kita ambil contoh sebelumnya, yakni $x^{2}+y^{2}-4x-6y-12= 0$ :

Bentuk umum	$x^{2}+y^{2}-4x-6y-12= 0$
Kumpulkan suku-suku yang memuat variabel yang sama	$(x^{2}-4x)+(y^{2}-6y)=12$
Lengkapi titik-titik tersebut untuk melengkapi kuadrat	$(x^{2}-4x+\cdot \cdot \cdot)+(y^{2}-6y+\cdot \cdot \cdot)=12$
Tambahkan $(\frac{-4}{2})^{2} =4$ untuk $x$	$(x^{2}-4x+4)+(y^{2}-6y+\cdot \cdot \cdot)=12+4$
Tambahkan $(\frac{-6}{2})^{2}=9$ untuk $y$	$(x^{2}-4x+4)+(y^{2}-6y+9)=12+4+9$
Sederhanakan	$(x^{2}-4x+4)+(y^{2}-6y+9)=25$
Bentuk baku	$(x-2)^{2} + (y-3)^{2}=5^{2}$