Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Add question

Login

Register Now

Your data is secured. So, please complete the form.

Jawaban Soal Latihan Purcell Subbab 0.3

Soal-soal 0.3

Sistem Koordinat Rektangular

Dalam soal-soal 1-4 gambarlah titik-titik yang diberikan dalam bidang koordinat dan kemudian carilah jarak antara titik-titik tersebut.

  1. (-1,5), (6,3)

 Jawaban:

  d=\sqrt{(-1-6)^2 + (5-3)^2}=\sqrt{49+4}=\sqrt{53}=7.28

 

  1. Tunjukkanlah bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya adalah (2,-4),(4,0) dan (8,-2) adalah siku-siku.

 Jawaban:

  a=\sqrt{(2-4)^2 + (-4-0)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}

  b=\sqrt{(4-8)^2 + (0+2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}

  c=\sqrt{(2-8)^2 + (-4+2)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}

  a^2+b^2=c^2 sehingga segitiga tersebut adalah siku-siku

  1. Carilah titik pada sumbu-x yang berjarak sama dari (3,1) dan (6,4).

 Jawaban:

  \sqrt{(x-3)^2+(0-1)^2} = \sqrt{(x-6)^2+(0-4)^2}

  x^2-6x+10 = x^2 -12x +52

  6x = 42

  x=7 \rightarrow (7,0)

  1. Carilah panjang ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah ruas-ruas AB dan CD, dengan A = (1,3), B= (2,6), C=(4,7) dan D=(3,4).

 Jawaban:

 Titik tengah dari AB= (\frac{1+2}{2},\frac{3+6}{2})=(\frac{3}{2},\frac{9}{2})

 Titik tengah dari CD= (\frac{4+3}{2},\frac{7+4}{2})=(\frac{7}{2},\frac{11}{2})

  d=\sqrt{(\frac{3}{2}-\frac{7}{2})^2+\frac{9}{2}-\frac{11}{2})^2}

  =\sqrt{4+1}=\sqrt{5}

Dalam soal-soal 11-16 carilah persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan yang diberikan.

  1. Pusat (-2,3), jari-jari 4

 Jawaban:

  (x+2)^2 + (y-3)^2 = 4^2

  (x+2)^2 + (y-3)^2 = 16

  1. Pusat (4,3) melalui (6,2)

 Jawaban:

  (x-4)^2 + (y-3)^2 = r^2

  (6-4)^2 + (2-3)^2 = r^2

  r^2 =4+1=5

Dalam soal-soal 17-22, carilah pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan yang diberikan.

  1. x^2 + y^2 - 6y = 16

 Jawaban:

  x^2 + y^2 - 6y = 16

  x^2 + (y^2 - 6y+9) = 16+9

  x^2+(y-3)^2 = 25

 pusat=(0,3), radius = 5

  1. x^2 + y^2 - 10x + 10y = 0

 Jawaban:

  x^2 + y^2 - 10x + 10y = 0

  (x^2 - 10x + 25) + (y^2 + 10y + 25) = 25+25

  (x-5)^2 + (y+5)^2 = 50

 pusat=(5,-5), radius = \sqrt{50}=5\sqrt{2}

Dalam soal-soal 23-28, cari kemiringan dari garis yang mengandung dua titik yang diberikan.

  1. (3,5) dan (4,7)

 Jawaban:

  \frac{7-5}{4-3}=2

  1. (-6,0) dan (0,6)

 Jawaban:

  \frac{6-0}{0+6}=1

Dalam soal-soal 29-34, cari persamaan untuk tiap garis. Kemudian tuliskan jawaban anda dalam bentuk Ax + By + C = 0

  1. Melalui (3,4) dengan kemiringan -1.

 Jawaban:

  y - 4 = -1(x-3)

  y - 4 = -x+3

  x+y-7=0

  1. Dengan perpotongan-y 5 dan kemiringan 0.

 Jawaban:

  y = 0x+5

  0x+y-5=0

  1. Melalui (4,1) dan (8,2).

 Jawaban:

  m=\frac{2-1}{8-4}=\frac{1}{4}

  y-1=\frac{1}{4}(x-4)

  x-4y+0=0

Dalam soal-soal 35-38, carilah kemiringan dan perpotongan-y untuk tiap garis.

  1. -4y= 5x - 6

 Jawaban:

  -4y= 5x - 6

  y= (-\frac{5}{4}x) + (\frac{3}{2})

 kemiringan = (-\frac{5}{4}); perpotongan-y=\frac{3}{2}

  1. 4x+5y=-20

 Jawaban:

  4x+5y=-20

  5y= -4x - 20

  y= -\frac{4}{5}x - 4

 kemiringan = -\frac{4}{5}; perpotongan-y =-4

  1. Tunjukkan bahwa persamaan garis dengan perpotongan -x adalah a \ineq 0 dan perpotongan-y adalah b \ineq 0 dapat dituliskan sebagai

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

 Jawaban:

  (a,0),(0,b); m=\frac{b-0}{0-a}=-\frac{b}{a}

  y=-\frac{b}{a}x + b; \frac{bx}{a} + y = b; \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

Dalam soal-soal 45-48, cari koordinat-koordinat titik potongnya. Kemudian tuliskan persamaan garis yang mudah melalui titik tersebut tegak lurus pada garis yang dituliskan pertama.

  1. 4x - 5y = 8

2x + y = -10

Jawaban:

4x - 5y = 8 |\cross 1

2x + y = -10 |\cross 2

4x - 5y = 8

4x + 2y = -20 </u>-<u>

-7y = 28

   y = -4

4x- 5(-4) = 8

4x = -12

x= -3

Titik potong: (-3, -4)

4x - 5y = 8

5y = -4x8

y =(\frac{4}{5})x - (\frac{8}{5})

m = -(\frac{5}{4})

y + 4 = -(\frac{5}{4})(x+3)

y = -(\frac{5}{4})x+-(\frac{31}{4})

  1. Cari persamaan lingkaran yang melingkupi segitiga siku-siku yang titik-titik sudutnya adalah (0,0),(8,0),(0,6)

Jawaban:

Dari soal 51 telah diketahui bahwa titik tengah dari sisi miring (4,3) adalah berjarak sama dari ketiga titik-titik sudutnya. Ini merupakan titik tengah lingkaran. Jari-jarinya adalah sqrt{16+9}=5. Persamaan dari lingkaran adalah (x-4)^2 +(y-3)^2=25

  1. Bagaimanakahhubungan antara a, b dan c yang harus dipenuhi jika x^3 + ax + y^2 + by + c =0 adalah persamaan sebuah lingkaran?

Jawaban:

x^2 + ax + y^2 + by + c = 0

(x^2 + ax + frac{a^2}{4})  + (y^2 + by + frac{b^2}{4}) = -c + frac{a^2}{4} + frac{b^2}{4}

(x + frac{a}{2})^2  + (y + frac{b}{2})^2 = frac{a^2 + b^2 - 4c}{4}

frac{a^2 + b^2 - 4c}{4} > 0 \rightarrow a^2 + b^2 > 4c

  1. lingkaran berjari-jari R diletakkan di kuadran pertama seperti diperlihatkan dalam gambar 18. Berapa jari-jari r dari lingkaran terbesar yang dapat diletakkan diantara lingkaran semula dan titik asal?

Jawaban:

Persamaan kedua lingkaran adalah (x - R)^2 + (y - R)^2 = R^2 dan (x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2

Misalkan (a, a) menyatakan titik dimana dua lingkaran bersinggungan. Titik ini harus memenuhi:

(a - R)^2 + (a - R)^2 = R^2

(a - R)^2 = \frac{R^2}{2}

a = (1 \plusminus \frac{sqrt{2}}{2})R

Karena a < R, a = (1-\frac{sqrt{2}}{2})R

Pada saat yang sama, titik dimana dua lingkaran bersinggungan harus memenuhi:

(a - r)^2 + (a - r)^2 = r^2

(a - r)^2 = \frac{r^2}{2}

a = (1 \plusminus \frac{sqrt{2}}{2})r

Karena a>r, a = (1+\frac{sqrt{2}}{2})r

Kemudian dari dua persamaan untuk a diatas didapatkan

(1-\frac{sqrt{2}}{2})R=(1+\frac{sqrt{2}}{2})r

 

  1. Tunjukkan bahwa himpunan titik-titik yang jaraknya ke (3,4) dua kali lebih besar dari jarak ke (1,1) membentuk suatu lingkaran. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut.

Jawaban:

2\sqrt{ (<em>x </em>−1)^2 + ( <em>y </em>−1)^2} = \sqrt{(<em>x </em>− 3)^2 + ( <em>y </em>− 4)^2}

4(x^2 - 2x +1 + y^2 - 2y +1) = x^2 - 6x +9 + y^2 - 8y + 16

3x^2 - 2x + 3y^2 = 9 +16 - 4 - 4

3x^2 - 2x + 3y^2 = 17

x^2 - \frac{2x}{3} + y^2 = \frac{17}{3}

(x^2 - \frac{2x}{3} + \frac{1}{9}) + y^2 = \frac{17}{3}+ \frac{1}{9}

(x- \frac{1}{3})^2 + y^2 = \frac{52}{9}

Titik tengah: (\frac{1}{3}, 0);  radius(\frac{\sqrt{52}}{3})

  1. Jika diketahui sebuah lingkaran C dan sebuah titik P yang berada di luar laingkaran tersebut. Misalkan ruas garis PT menyinggung C di T dan ada garis lain yang melalui P dan pusat C memotong C pada M dan N. Tunjukkan bahwa (PM) (PN) = (PT)^2

Dari gambar dibawah ini, sudut T  merupakan sudut siku-siku, sehingga menggunakan teorema pythagoras didapatkan:

(PM + r)^2 = (PT)^2 + r^2

\doublearrow (PM)^2 + 2rPM + r^2 = (PT)^2 + r^2

\doublearrow PM (PM + 2r)+ r^2 = (PT)^2

PM + 2r = PN sehingga didapatkan hasil (PM)(PN) = (PT) ^2

 

 

 


About Riad Taufik Lazwardiclever

Lecturer of Mathematics at 1. Kalbis Institute | Managed by Binus (2018-now) 2. Telkom University (2017-2018) 3. UIN Bandung (2015-2018)

Follow Me

Leave a reply