Teorema Yang Sering Dipakai Ketika Mengerjakan Soal Limit

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Attachment

Browse

Details*

Add question

Teorema Yang Sering Dipakai Ketika Mengerjakan Soal Limit

Kita akan membahas teorema yang powerful ketika menjawab soal limit. Lebih dari itu, teorema yang jarang dikuasai oleh kebanyakan mahasiswa pun akan dikupas tuntas. Sebelum itu, mari kita berniat untuk mencari ilmu, buka nilai ya.

Aturan Penjumlahan.

Jika

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)=5$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} g(x)=3$ ,

maka

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} (f(x)+g(x))=8$

Persamaan di atas bisa dibaca :

Ketika

$x$ dekat ke a, maka $f(x)$ dekat ke $5$ .
$x \rightarrow a$ maka $f(x) \rightarrow 5$ .
$x \rightarrow a$ maka $f(x) = 5 + \epsilon_1$ $\epsilon_1$ adalah error.

Ketika

$x$ dekat ke a, maka $g(x)$ dekat ke $3$ .
$x \rightarrow a$ maka $g(x) \rightarrow 3$ .
$x \rightarrow a$ maka $g(x) = 3 + \epsilon_2$ $\epsilon_2$ adalah error.

“Jika $x\rightarrow a$ , apa yang terjadi dengan $f(x)+g(x)$ ?”

Ketika

$x$ dekat ke a, maka $f(x)+g(x)=5 + \epsilon_1+3 + \epsilon_2$
$x \rightarrow a$ maka $f(x)+g(x)= 8 + \epsilon$ .
$x \rightarrow a$ maka $f(x)+g(x) \rightarrow 8$ .

Dengan kata lain :

Jika

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)=L$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} g(x)=M$ ,

maka

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} (f(x)+g(x))=L+M$ .

Very simple. Begitu pun dengan aturan lainnya :

Aturan Pengurangan
Aturan Perkalian
Aturan Pembagian

Aturan yang juga powerful adalah aturan apit.

Misal :

$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ .
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}h(x)=L$ .

maka,

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x) \leq \displaystyle \lim_{x\rightarrow a} g(x) \leq \displaystyle \lim_{x\rightarrow a} h(x)$ ,

catatan : $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}$ pada semua ruas tidak merubah arah pertidaksamaan. Maka,

$L \leq \displaystyle \lim_{x\rightarrow a} g(x) \leq L$ ,

dan boom, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} g(x)=L$ .

Contoh Soal.

Hitung $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} x^2 sin \frac{1}{x}$

Jawab. Kita tau bahwa sin u itu (berapa pun u) selalu berada diantara -1 dan 1.

$-1\leq sin x \leq 1$

$-1\leq sin \frac{1}{x} \leq 1$

$-x^2\leq x^2 sin \frac{1}{x} \leq x^2$

*kali $x^2$ ke setiap ruas

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} -x^2\leq \lim_{x \rightarrow 0} x^2 sin \frac{1}{x} \leq \lim_{x \rightarrow 0} x^2$

$\displaystyle 0 \leq \lim_{x \rightarrow 0} x^2 sin \frac{1}{x} \leq 0$

Karena diapit oleh 0, maka $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} x^2 sin \frac{1}{x}=0$

Yang dekat adalah kematian, yang jauh adalah masa lalu.

Sumber gambar :

digitalcitizen.ca

Baca Lagi Biar Pinter

Kapan Limit Itu Ada?
90
Nah, limit itu ada ketika limit kanan (-bisa dibaca dekati dari kanan) dan limit kirinya sama. Bahasa matematikanya, $latex \displaystyle \lim_{x\rightarrow…
Tags: limit, $latex, ightarrow, lim, $, turunan, kalkulus, integral
Pembuktian Sederhana Teorema Pythagoras
83
Ketika menduduki bangku SD, kita sudah dikenalkan dengan Teorema Pythagoras untuk mencari sisi miring pada segitiga siku-siku. Tahukah teman-teman darimana…
Tags: $latex, $, turunan, limit, kalkulus, integral
Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi, dan Pangkat pada Fungsi
80
Misalkan diberikan dua buah fungsi $latex f(x)$ dan $latex g(x)$ yang didefinisikan sebagai: [latexpage] $latex f(x)=\frac{x-1}{2}$ dan $latex g(x)=\sqrt{x-2}$ Kita…
Tags: $latex, $, turunan, limit, kalkulus, integral
Peran Deret Binomial Di Antara Hubungan Energi Kinetik Relatif dan Klasik
77
[latexpage] “Anda pernah merasa kalau waktu 1 menit itu lama？”. Anda mungkin pernah merasa kalau 1 jam itu sebentar, misal…
Tags: $, $latex, turunan, limit, kalkulus, integral
Fungsi Floor dan Grafiknya
75
Kita berkenalan dengan salah satu fungsi dasar di dalam matematika, namanya fungsi floor. Floor sendiri kalau diterjemahkan ke dalam bahasa indonesia…
Tags: $latex, $, turunan, limit, integral, kalkulus

Comments ( 2 )

nita k
March 28, 2018 at 6:10 am
Selain teorema-teorema itu, dalam pengerjaan soal menentukan limit, saya sering menggunakan teorema L’Hopital , yaitu dalam bentuk tak tentu 0/0 atau takhingga/takhingga, bahwa limit x menuju c dari f(x)/g(x) dengan f(c)/g(c)=0/0 atau f(c)/g(c)=takhingga/takhingga ditentukan dengan limit x menuju c dari f'(x)/g'(x), saya sering memakai aturan L’Hopital tersebut tetapi belum memahami mengapa aturan tersebut valid? Terima kasih 🙂
- Arini Soesatyo Putri clever
  April 25, 2018 at 4:07 pm
  Halo Nita! Wah kayanya kak Nita paling senang mengerjakan soal limit menggunakan Aturan L’Hopital ya? Nah kalau mau tahu pembuktian dari aturan tersebut bagaimana, kami sudah buatkan pembahasannya di: http://belajarkalkulus.com/pembuktian-aturan-lhopital-kasus-0-0/
  Selamat membaca! 🙂