Teorema Yang Sering Dipakai Ketika Mengerjakan Soal Limit

Kita akan membahas teorema yang powerful ketika menjawab soal limit. Lebih dari itu, teorema yang jarang dikuasai oleh kebanyakan mahasiswa pun akan dikupas tuntas. Sebelum itu, mari kita berniat untuk mencari ilmu, buka nilai ya.

Aturan Penjumlahan.

Jika

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)=5$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} g(x)=3$ ,

maka

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} (f(x)+g(x))=8$

Persamaan di atas bisa dibaca :

Ketika

$x$ dekat ke a, maka $f(x)$ dekat ke $5$ .
$x \rightarrow a$ maka $f(x) \rightarrow 5$ .
$x \rightarrow a$ maka $f(x) = 5 + \epsilon_1$ $\epsilon_1$ adalah error.

Ketika

$x$ dekat ke a, maka $g(x)$ dekat ke $3$ .
$x \rightarrow a$ maka $g(x) \rightarrow 3$ .
$x \rightarrow a$ maka $g(x) = 3 + \epsilon_2$ $\epsilon_2$ adalah error.

“Jika $x\rightarrow a$ , apa yang terjadi dengan $f(x)+g(x)$ ?”

Ketika

$x$ dekat ke a, maka $f(x)+g(x)=5 + \epsilon_1+3 + \epsilon_2$
$x \rightarrow a$ maka $f(x)+g(x)= 8 + \epsilon$ .
$x \rightarrow a$ maka $f(x)+g(x) \rightarrow 8$ .

Dengan kata lain :

Jika

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)=L$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} g(x)=M$ ,

maka

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} (f(x)+g(x))=L+M$ .

Very simple. Begitu pun dengan aturan lainnya :

Aturan Pengurangan
Aturan Perkalian
Aturan Pembagian

Aturan yang juga powerful adalah aturan apit.

Misal :

$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ .
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}h(x)=L$ .

maka,

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x) \leq \displaystyle \lim_{x\rightarrow a} g(x) \leq \displaystyle \lim_{x\rightarrow a} h(x)$ ,

catatan : $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}$ pada semua ruas tidak merubah arah pertidaksamaan. Maka,

$L \leq \displaystyle \lim_{x\rightarrow a} g(x) \leq L$ ,

dan boom, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} g(x)=L$ .

Contoh Soal.

Hitung $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} x^2 sin \frac{1}{x}$

Jawab. Kita tau bahwa sin u itu (berapa pun u) selalu berada diantara -1 dan 1.

$-1\leq sin x \leq 1$

$-1\leq sin \frac{1}{x} \leq 1$

$-x^2\leq x^2 sin \frac{1}{x} \leq x^2$

*kali $x^2$ ke setiap ruas

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} -x^2\leq \lim_{x \rightarrow 0} x^2 sin \frac{1}{x} \leq \lim_{x \rightarrow 0} x^2$

$\displaystyle 0 \leq \lim_{x \rightarrow 0} x^2 sin \frac{1}{x} \leq 0$

Karena diapit oleh 0, maka $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} x^2 sin \frac{1}{x}=0$

Yang dekat adalah kematian, yang jauh adalah masa lalu.

Sumber gambar :

digitalcitizen.ca

Comments ( 2 )

nita k
March 28, 2018 at 6:10 am


Selain teorema-teorema itu, dalam pengerjaan soal menentukan limit, saya sering menggunakan teorema L’Hopital , yaitu dalam bentuk tak tentu 0/0 atau takhingga/takhingga, bahwa limit x menuju c dari f(x)/g(x) dengan f(c)/g(c)=0/0 atau f(c)/g(c)=takhingga/takhingga ditentukan dengan limit x menuju c dari f'(x)/g'(x), saya sering memakai aturan L’Hopital tersebut tetapi belum memahami mengapa aturan tersebut valid? Terima kasih 🙂
- Arini Soesatyo Putri clever
  April 25, 2018 at 4:07 pm
  
  
  Halo Nita! Wah kayanya kak Nita paling senang mengerjakan soal limit menggunakan Aturan L’Hopital ya? Nah kalau mau tahu pembuktian dari aturan tersebut bagaimana, kami sudah buatkan pembahasannya di: http://belajarkalkulus.com/pembuktian-aturan-lhopital-kasus-0-0/
  Selamat membaca! 🙂