Teorema Dasar Kalkulus II

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Teorema Dasar Kalkulus II

Dalam Teorema Dasar Kalkulus I, kita mengetahui adanya hubungan ~~gelap~~ antara turunan dan integral. Yakni jika diberikan fungsi $S(x)$ yang didefinisikan sebagai $S(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ , maka $S$ dikatakan sebagai antiturunan dari fungsi $f$ yang memenuhi

$S'(x)=f(x)$ $(1)$

Nah, jika berbicara mengenai yang ‘pertama’ pada sebuah nama, maka tentu dia memiliki yang ‘kedua’. Jadi sekarang kita akan membahas mengenai Teorema Dasar Kalkulus II yang diperoleh dari Teorema Dasar Kalkulus I. Apa bunyi dari Teorema Dasar Kalkulus II?

Untuk setiap fungsi $f$ yang kontinyu pada selang $[a,b]$ , maka berlaku

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

dengan $F$ merupakan antiturunan dari $f$ yang memenuhi $F'=f$

Ada beberapa cara untuk membuktikan teorema ini, namun kita akan gunakan cara yang paling mudah supaya tidak menambah kerutan di kening para pembaca. Pertama-tama, kita ingat kembali fakta bahwa ada banyak fungsi yang memiliki hasil turunan yang sama.

Seperti misalnya fungsi $p(x)=2x+2$ dan $q(x)=2x+10$ , keduanya memiliki turunan yang sama, yakni $p'(x)=q'(x)=2$ . Jadi kita bisa misalkan ada fungsi lain yang hasil turunannya adalah $f(x)$ , katakanlah fungsi $F(x)$ sehingga memenuhi

$F'(x)=f(x)$ $(2)$

Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ di atas kita dapatkan persamaan

$S'(x)=F'(x)$

Kemudian timbul pertanyaan, apa yang akan terjadi jika kita mengintegralkan kembali kedua ruas tersebut terhadap $x$ ? Perhatikan bahwa kita akan memiliki hasil integral

$\int S'(x)dx=\int F'(x)dx$

$S(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)+C$ $(3)$

dengan $C$ suatu konstanta. Sekarang jika disubstitusikan $x=a$ , maka menghasilkan

$S(a)=\int_{a}^{a}f(t)dt=F(a)+C$

Integral $\int_{a}^{a}f(t)dt$ jelas akan bernilai nol, jadi

$S(a)=\int_{a}^{a}f(t)dt=F(a)+C=0$

$F(a)+C=0\Rightarrow C=-F(a)$

Substitusikan nilai $F(a)=-C$ ke dalam persamaan $(3)$ , menjadi

$S(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)-F(a)$

Selanjutnya substitusikan $x=b$ ke dalam persamaan di atas sehingga diperoleh

$S(b)=\int_{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$

$\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Hasil dari penurunan rumus yang kita lakukan, termaktub di dalam sebuah teorema yang disebut Teorema Dasar Kalkulus II. Singkatnya, teorema ini ingin memberikan kita kemudahan dalam penghitungan integral tentu (integral dengan batas pengintegrasian yang telah ditentukan). Banyak aplikasi yang bisa digunakan dari hasil teorema ini, seperti misalnya kita dapat menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva $f$ pada selang $[a,b]$ .

Agar lebih mudah memahaminya, mari kita lihat contohnya: Misalkan diberikan fungsi $f(x)=x^{2}$ pada selang $[1,2]$ . Perhatikan bahwa antiturunan dari $f(x)=x^{2}$ adalah $F(x)=\frac{1}{3}x^{3}$ .

grafik x kuadrat.JPG

Jadi untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}$ pada selang $[1,2]$ dapat diperoleh dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus II, sebagai berikut

$\int_{1}^{2}x^{2}dx=F(2)-F(1)=\frac{1}{3}(2)^{2}-\frac{1}{3}(1)^{2}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1$

Sangat mudah untuk menghitungnya, ya kan?

Setelah mengetahui Teorema Dasar Kalkulus II, tentu kita pun bertanya kembali, “Kalau ada yang pertama dan kedua, berarti ada Teorema Dasar Kalkulus III, dong?”. Sayangnya di berbagai literatur, kita tidak akan menemui Teorema Dasar Kalkulus III. Sebab matematikawan zaman dahulu hanya menyepakati dua teorema saja yang dijadikan sebagai fundamental atau dasarnya kalkulus. Namun jika pun ada, saya memilih Teorema Nilai Rata-Rata sebagai kandidat dari Teorema Dasar Kalkulus III. Sebab teorema ini juga yang menjadi jendela pembuka bagi perkembangan kalkulus selanjutnya, yang mana menghasilkan teorema yang sangat kita kenal, yakni Teorema L’Hôpital dan Teorema Taylor.

Begin with the in Mind~7 Habits