Teorema Dasar Kalkulus I; Mengapa Menjadi Dasarnya Kalkulus?

Kalkulus pada dasarnya terbagi ke dalam dua bagian; ada kalkulus diferensial dan juga kalkulus integral. Sebelum lahirnya Teorema Dasar Kalkulus I, turunan dan juga integral dikaji secara terpisah, sebab matematikawan pada masa itu belum mengetahui kaitan sebenarnya antara turunan dan integral. Di satu sisi, turunan membahas mengenai garis singgung, di sisi yang lain, integral membahas mengenai luas daerah. Jadi apa hubungannya turunan dan integral? Mengapa mereka bisa dipertemukan? Ternyata Teorema Dasar Kalkulus I ini berperan sebagai mak comblang di antara keduanya!

Kita belajar bahwa untuk setiap fungsi $f(t)$ yang kontinyu pada interval $[a,b]$ , maka luas daerah di bawah kurva $y=f(t)$ pada interval $[a,b]$

diberikan oleh integral

$\int_{a}^{b} f(t)dt$

Selanjutnya jika dipilih sebarang titik $x$ dalam interval $[a,b]$ , lalu kita cari luas daerah di bawah kurva $y=f(t)$ pada interval $[a,x]$

maka luas daerahnya diberikan oleh integral

$\int_{a}^{x} f(t)dt$

Misalkan integral di atas membangun suatu fungsi, katakanlah $S(x)$ , sehingga fungsi $S(x)$ bergantung pada $f(x)$ , dituliskan

$S(x)= \int_{a}^{x} f(t)dt$

Nah, sekarang kita ingin mengetahui seberapa besar sih laju perubahan luas yang bergantung dengan $x$ ?

Untuk mencari tahunya, pertama-tama kita gambarkan titik $x+\Delta x$ yang letaknya di sebelah kanan titik $x$ dan masih terletak dalam interval $[a,b]$ ,

Luas daerah yang diarsir oleh warna hijau dapat diperoleh dengan cara mengurangi luas daerah di bawah kurva $y=f(t)$ dari $a$ ke $x+\Delta x$ dengan luas daerah di bawah kurva $y=f(t)$ dari $a$ ke $x$ . Dalam hal ini dituliskan

$\Delta S=A(x+\Delta x)-A(x)$

$\frac{\Delta S}{\Delta x}=\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}$

Karenanya laju perubahan luasnya menjadi

$\frac{dS}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}$

Kita juga dapat notasikan $\frac{dS}{dx}$ sebagai $S'(x)$ . Selanjutnya perhatikan bahwa kita dapat menemukan suatu titik di antara $x$ dan $\Delta x$ , katakanlah $\bar{x}$ , sehingga luas daerah berwarna hijau tersebut akan sama dengan $f(\bar{x})\Delta x$ (merupakan teorema). Jadi

$S'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}$

$=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(\bar{x})\Delta x}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}f(\bar{x})$

Karena ketika $\Delta x\rightarrow 0$ , maka apapun yang berada di antara $x+\Delta x$ nilainya akan menuju $x$ . Oleh karena itu persamaan terakhir menjadi $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}f(\bar{x})=f(x)$ . Jadi kita peroleh

$S'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)dt=f(x)$

Hasil inilah yang kemudian dirumuskan menjadi suatu teorema penting di dalam kalkulus, yakni Teorema Dasar Kalkulus I yang berbunyi

Untuk setiap fungsi $f$ yang kontinyu pada selang $[a,b]$ , maka fungsi yang didefinisikan sebagai

$S(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$

kontinyu pada $[a,b]$ dan terdiferensiasikan pada $(a,b)$ , dengan $S'(x)=f(x)$ .

Jadi secara kasarnya, Teorema Dasar Kalkulus I ingin menunjukkan kepada kita bahwa, “Ternyata turunan dan integral itu saling berkaitan, lho!”. Kita dapat mengatakan integral sebagai balikan dari turunan dan begitu pun sebaliknya. Dalam notasi Leibniz, Teorema Dasar Kalkulus I dinotasikan sebagai

$S'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$

Mengapa teorema ini begitu penting dan menjadi dasar bagi kalkulus? Ada tiga poin utama yang ingin disampaikan oleh teorema ini:

Adanya hubungan antara konsep turunan suatu fungsi dengan konsep integral suatu fungsi;
Integral tentu suatu fungsi berkaitan dengan antiturunannya;
Adanya jaminan keberadaan suatu antiturunan untuk setiap fungsi yang kontinyu pada selang tertutup.

Tanpa adanya teorema ini, kalkulus tidak akan ‘ada’. Sebagai gantinya, konsep turunan dan integral akan dipelajari secara terpisah. Padahal kedua operator inilah yang akan menjadi pijakan dalam memahami kalkulus hingga akhir. So, kebayang kan kalau Teorema Dasar Kalkulus I enggak ditemukan, mungkin saja kalkulus tidak akan berkembang hingga saat ini. Dan buruknya lagi, mungkin saja website belajarkalkulus.com juga tidak akan pernah ada!

Terima kasih kepada Isaac Barrow sebagai matematikawan pertama yang telah membuktikan Teorema Dasar Kalkulus I!

Sumber Pustaka

Fundamental Theorem of Calculus. Brilliant.org. Diakses 13 Oktober 2018. [https://brilliant.org/wiki/fundamental-theorem-of-calculus/]

Comments ( 2 )

Sultan
October 14, 2018 at 11:16 am


Kak berarti sumbu x=t ya dalam grafik? kan f(t) berarti f memetakan t kan? mohon bimbingan
- Arini Soesatyo Putri clever
  October 14, 2018 at 5:21 pm
  
  
  Oh iya, betul. Saya salah menggambar rupanya. Seharusnya sumbu horizontal adalah sumbu-t, bukan sumbu-x.
  Akan saya perbaiki kembali 🙂