Pilih Uji Banding Biasa Atau Uji Banding Limit ?

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Ketika kamu bertemu dengan soal tentang deret, pastinya akan ditanya “Apakah deret tersebut konvergen?”. Contoh :

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ldots$

Hayoo.. kamu bisa nebak ngga berapa hasil dari penjumlahan suku-suku (dibaca, deret) di atas? Seandainya kita bisa melihat permasalahan di atas secara geometri, maka deret tersebut bisa dilihat sebagai berikut :

Sumbpaner : mrhonner.com

Kita bisa mengatakan bahwa hasil penjumlahannya adalah 1 atau deret di atas konvergen ke 1.

Sayangnya tak semua deret dapat dengan mudah dilihat dari sudut pandang geometri. Cara untuk menentukan suatu deret konvergen atau tidak adalah dengan melakukan uji.

Uji Banding Biasa.

Misal $0\leq a_n\leq b_n$ untuk $n \geq N$

Jika deret $b_n$ konvergen maka deret $a_n$ konvergen.
Jika deret $a_n$ divergen maka deret $b_n$ divergen.

Uji Banding Limit.

Misal $a_n \geq 0, b_n>0$ dan $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=L$

Jika $0<L<\infty$ , maka deret $a_n$ dan $b_n$ keduanya konvergen atau divergen.
Jika $L=0$ dan $b_n$ konvergen, maka deret $a_n$ konvergen.

Kalau ada soal, kita harus pakai uji yang mana?~pertanyaan dari Mega.

Karena uji banding biasa itu membandingkan, maka kita harus punya stok pembanding berikut dengan jenis kekonvergenannya.
Pembanding yang paling mudah biasanya : $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ konvergen jika $p>1$ divergen ketika p lainnya. (wajib diingat)

Contoh Soal.

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+2n+3}$

Jawab.

Soal ini nampak mudah kalau kita pakai metode Uji Banding Biasa karena kita bisa menemukan pembanding $\frac {1}{n}$ yang mana

$\frac{n}{n^2+2n+3} < \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$

Artinya kita menemukan $b_n$ yang divergen. Tapi uji banding biasa itu bisa dipakai kalau kita menemukan $b_n$ yang konvergen atau $a_n$ yang divergen.

Maka, kali ini kita akan menaruh pilihan kita ke uji banding limit.

Kita pilih $b_n=\frac{1}{n}$ agar suku pangkat tertinggi pada pembilang dan penyebutnya sama.

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n}{n^2+2n+3}}{1/n}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^2}{n^2+2n+3}=2$

*pake aturan L’hopital.

Karena hasilnya 2 dan $b_n$ divergen maka $a_n$ divergen.

Sumber : memegenerator

Tidak mudah jalan menuju surga