Persamaan Diferensial Linier Orde Satu

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu

Manfaat : Materi ini bisa diaplikasikan pada masalah banking, Resistor Capacitor circuits, systems and signal language etc. Kemudian materi ini merupakan subtopik yang paling penting dari topik persamaan diferensial.

Hari ini saya akan menunjukkan kepada kamu, yang ganteng dan cantiq, bagaimana membuat model dari sistem dunia nyata dengan menggunakan persamaan diferesial linier orde pertama. Modelnya melibatkan sistem yang melibatkan waktu, disimbolkan t (time), yang mana waktu sebagai variabel bebasnya. Sedangkan variabel terikatnya x atau x (t). Selanjuntya saya cukup menulis x’ untuk turunan x terhadap t.

Definisi: Persamaan Diferensial Linier Orde Satu mempunyai bentuk standar :

$r(t)x'(t)+p(t)x(t)=q(t)$

note : pada masalah orde satu, x diturunkan satu kali.

Bagaimana cara mencari solusi persamaan di atas?

Metode Analitik

Jika r(t),p(t) dan q(t) adalah konstanta, maka persamaan di atas dapat dipisahkan (separable) antara variabel x dan y menjadi :

$r \frac{dx}{ ( q - px )} = dt$

Apa apliksainya di masalah dunia nyata ?

Contoh Masalah Pemanenan : Padi dengan tingkat pertumbuhan konstan dan pemanenan diperbolehkan setiap waktu bisa kita modelkan dengan persamaan diferensial linier orde pertama seperti berikut :

$x '= kx - h$

h = laju pemanenan.

Perhatikan bahwa dalam sistem dunia nyatanya baik k dan h bergantung dengan waktu.

Contoh Masalah Rekening Bank : Saya punya rekening di salah satu bank. Ada x rupiah di dalamnya. x adalah fungsi yang bergantung pada waktu. Saya dapat menyimpan dan mengambil uang dari rekening itu kapanpun. Kemudian Bank akan membayar saya sewa untuk uang yang saya simpan di sana! Inilah yang disebut bunga.

Dulu bank akan membayar bunga pada akhir bulan pada saldo yang ada di awal bulan. Nah, kita bisa memodelkan ini dengan persamaan diferensial linier orde pertama sebagai berikut :

Dengan $\Delta t = 1/12$ , pernyataan pada akhir bulan akan berbunyi :

$x (t + \Delta t) = x (t) + I x (t) \Delta t + [\textrm {deposito - penarikan antara t dan t} + \Delta t]$

I : interest (bunga)

Misal bunganya sebesar 1% = 0,01. Kamu tidak akan mendapatkan 1% setiap bulan, tapi kamu akan mendapatkan 1/12 dari 1% setiap di akhir bulan. Ini disebabkan bunga sebesar 1% adalah bunga untuk 1 tahun.

Asumsi :

Penarikan dianggap sebagai setoran negatif, jadi saya akan menyebut semuanya deposit.
Misal perhitungan terhadap bunga dihitung setiap hari. Maka $\Delta t \rightarrow 0$ .
Saya ingin memisalkan setoran dikurangi penarikan sebagai * kurs *, dalam rupiah per tahun.

Misalkan saya menyimpan 100 ribu setiap bulan, dan tidak melakukan penarikan. Jadi total deposit saya sampai t – waktu, “total kumulatif”, memiliki grafik seperti ini

Sumber : MIT Open Course

Dengan mengasumsikan $\Delta t \rightarrow 0$ , kita bisa membayangkan bahwa saya melakukan deposit ini terus menerus secara kontinyu, dengan laju konstan 1200 rupiah / tahun. Maka grafiknya akan seperti ini

Sumber : mit open course

– garis lurus (titik) dengan kemiringan 1/1200:

Q ‘(t) = q (t) adalah konstan.

Secara umum, katakan saya menyetor pada tingkat q (t) rupiah per tahun.

Note : q (t) dapat bervariasi dari waktu ke waktu, dan mungkin juga negatif, dari waktu ke waktu, karena penarikan hanyalah setoran negatif.

Jadi, dengan asumsi q (t) kontinu

$x (t + \Delta t) ~ x (t) + I x (t) \Delta t + q (t) \Delta t$

Sekarang kurangi $x (t + \Delta t)$ dengan x (t) kemudian bagi dengan $\Delta t$ :

$x (t + \Delta t) - x (t)$
—————————————– ~ I x + q
$\Delta t$

Sekarang adalah saatnya untuk membiarkan periode bunga $\Delta t$ cenderung nol:

$x '= I x + q$

Catatan: q (t) tentu dapat bervariasi dalam waktu. Tingkat bunga juga bisa. Bahkan tingkat bunga mungkin bergantung pada x juga: yang lebih besar akun mungkin akan mendapatkan tingkat bunga yang lebih baik. Tidak ada fitur memengaruhi derivasi persamaan ini, tetapi jika saya bergantung padanya x dan juga t, maka persamaan yang kita lihat tidak lagi linear.

Jadi katakanlah I = I (t), q = q (t)

Kita dapat menempatkan ODE ke dalam bentuk standar:
x ‘- I x = q
Setiap simbol mewakili fungsi dari t.

Masalah Dunia Nyata Sistem dan Sinyal Bahasa

Dalam bentuk standar persamaan diferensial :

$r(t)x'(t)+p(t)x(t)=q(t)$

sisi kiri mewakili SISTEM. Sisi kanan mewakili pengaruh luar pada sistem. “Sinyal” hanyalah fungsi waktu. Sistem merespons sinyal input dan menghasilkan fungsi x (t), “sinyal keluaran” atau RESPON SISTEM. Ini gambarnya

Sumber : mit open course

Sumber : mit open course

Pertanyaan 3.2. Manakah dari berikut ini adalah ODE linier?

(a) $\dot x + x ^ 2 = t$
(b) $\dot x = (t ^ 2 + 1) (x-1)$
(c) $\dot x + x = t ^ 2$

1. Tidak ada
2. (a) saja
3. (b) saja
4. (c) saja
5. Semua
6. Semua kecuali (a)
7. Semua kecuali (b)
8. Semua kecuali (c)
Kosong. Tidak tahu

Jawaban: (b) dan (c) linier, (a) bukan: 6

Masalah Dunia Nyata Rangkaian RC.

Misalkan kita memiliki rangkaian listrik seperti ini

Gambar di atas terdiri dari resistor, kapasitor, dan sumber tegangan: gambar di atas adalah sirkuit RC. Ini bukan kursus elektromagnetisme atau sirkuit, tapi saya akan gunakan kata-kata dari subjek itu. Mari kita berpura-pura mengerti apa yang mereka maksud! Arus mengalir di sekitar rangkaian.

Arus diukur dalam “ampere” dan dilambangkan oleh I. (Saya tidak tahu bahasa apa yang memiliki kata untuk arus dimulai dengan I!)

Dalam rangkaian “seri” ini, arus adalah sama di mana-mana tetapi mungkin berbeda dengan waktu. Katakanlah arah positif di sirkuit searah jarum jam (yaitu ke tepat di atas, untuk pengguna jam digital). Jadi jika arus mengalir berlawanan arah sepanjang kawat, sebuah ammeter akan memberikan bacaan negatif. Sistem ini didukung oleh sumber daya variabel, yang menciptakan tegangan “” naikkan “di atasnya. Ini yang membuat gerakan saat ini. Tulis V (t) untuk tegangan TINGKAT dari bawah ke atas sumber.

Menulis $V_R$ dan $V_C$ untuk DROP tegangan melintasi resistor dan kapasitor. “Hukum tegangan Kirchhoff” menyatakan itu

$V (t) = V_R (t) + V_C (t)$

Saya membuat grafik kecil seperti ini

Sumber : mit open course

untuk menggambarkan KVL. Ada hubungan antara penurunan tegangan di setiap sirkuit elemen dan arus yang mengalir melaluinya. Hubungannya berbeda untuk resistor dan kapasitor:

Resistor :

$V_R (t) = R I (t)$

untuk R konstan, “perlawanan”

Kapasitor :

$V'_C (t) = (1 / C) I (t)$

untuk C konstan, “kapasitansi”

Begitu:
– Tegangan jatuh pada resistor sebanding dengan arus mengalir melaluinya. Resistansi tinggi berarti drop tegangan besar.
– Penurunan tegangan kapasitor sebanding dengan * integral * dari saat ini; itu hasil dari penumpukan muatan pada dua lempeng kapasitor. Kapasitansi tinggi berarti banyak ruang untuk mengisi daya. Kapasitor yang sangat besar tidak seperti kapasitor sama sekali. Untuk menghubungkan ini, bedakan KVL

$V '(t) = V'_R (t) + V'_C (t) = R I' (t) + (1 / C) I (t)$

Ini adalah persamaan diferensial linear orde pertama untuk I (t):
Dalam bentuk standar

$R I '(t) + (1 / C) I (t) = V' (t)$

Sirkuit adalah sistem dan diwakili oleh sisi kiri.
Sinyal input adalah V, peningkatan tegangan melintasi sumber daya

* Derivatif * dari sinyal input adalah apa yang terjadi di sebelah kanan persamaan.
Respons sistem adalah arus. Sistem adalah sirkuit

(under revision)