Pembuktian Aturan L’hopital Kasus Tak Hingga / Tak Hingga

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Tulis $x=\frac{1}{1/x}$ , $f(x)=\frac{1}{1/f(x)}$ dan $g(x)=\frac{1}{1/g(x)}$ .
Misal

$\latex \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \frac {\infty}{\infty}$

dan limit di atas ada, yaitu L

Maka

$\latex \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \rightarrow a} \frac{\frac{1}{1/f(x)}}{\frac{1}{1/g(x)}}=\lim_{x \rightarrow a} \frac{ \frac{1}{g(x)} }{ \frac{1}{f(x)} }=\frac{0}{0}$

Nah….jadi bentuk 0/0 kan? hayo kalau masih ngaa… inget $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0$

sehingga,

$\latex \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \rightarrow a} \frac{\frac{1}{1/f(x)}}{\frac{1}{1/g(x)}}=\lim_{x \rightarrow a} \frac{ \frac{1}{g(x)} }{ \frac{1}{f(x)} }=\frac{0}{0}=\lim_{x \rightarrow a} \frac{(\frac{1}{g(x)})'}{(\frac{1}{f(x)})'}$

$\latex \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{\frac{-g'(x)}{g^2(x)}}{\frac{-f'(x)}{f^2(x)}}$

$\latex \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{f^2(x).g'(x)}{g^2(x).f'(x) }$

$\latex \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^2(x)}{g^2(x) }\lim_{x \rightarrow a} \frac{g'(x)}{f'(x)}$

$\latex \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{L^2}{\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}}$

Seandainya jika limitnya ada atau dengan kata lain

$\latex \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=L$

maka

$L=\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{L^2}{\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}}$

atau jika bagian tengah “=” nya kita hilangin,

$L= \frac{L^2}{\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}}$

sehingga bagian penyebut haruslah L, yang mana

$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}} = L$

kesimpulannya adalah

$\latex \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}} = L$

Catatan : pembuktian ini untuk L bukan nol dan bukan takhingga.