Pembuktian Aturan L'Hôpital Kasus 0/0

Pembuktian Aturan L’Hôpital Kasus 0/0

Pernahkah teman-teman mengerjakan soal limit yang berbentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$ dengan menggunakan Aturan L’Hôpital? pasti jadi lebih mudah kan? yup, menyelesaikan soal limit akan terasa lebih mudah ketika menerapkan aturan ini, asalkan semua syarat aturannya terpenuhi, dan tentu kitanya pun harus lihai dalam menentukan turunan fungsinya. Untuk mengetahui syarat apa saja yang harus dipenuhi, pandang kembali Aturan L’Hôpital berikut ini:

Guillaume François Antoine, Markis de l’Hôpital

Teorema L’Hôpital. Misalkan $f(x)$ dan $g(x)$ fungsi yang terdiferensiasikan pada interval terbuka yang memuat $a$ , dan $f(a)=g(a)=0$ . Asumsikan juga $g'(x)\neq 0$ untuk $x$ yang terletak di sekitaran $a$ tetapi tidak sama dengan $a$ , maka berlaku

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

asalkan limitnya ada. Aturan yang sama juga berlaku jika $f(x)$ dan $g(x)$ terdiferensiasikan untuk $x$ di sekitar $a$ tetapi tidak sama dengan $a$ , dan

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)=\pm\infty$ serta $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} g(x)=\pm\infty$

Nah sekarang kita akan buktikan Aturan L’Hôpital ini. Ada beberapa versi pembuktiannya, namun yang akan kita bahas sekarang adalah pembuktian Aturan L’Hôpital untuk kasus $\frac{0}{0}$ dengan cara yang paling sederhana. Berikut bukti dari Aturan L’Hôpital untuk kasus $\frac{0}{0}$ :

Asumsikan fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ memenuhi semua syarat Aturan L’Hôpital, yakni misalkan $f(a)=g(a)=0$ dan $g'(a)\neq 0$ .