Pembuktian Aturan L’Hôpital Kasus 0/0

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Attachment

Browse

Details*

Add question

Pembuktian Aturan L’Hôpital Kasus 0/0

Pernahkah teman-teman mengerjakan soal limit yang berbentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$ dengan menggunakan Aturan L’Hôpital? pasti jadi lebih mudah kan? yup, menyelesaikan soal limit akan terasa lebih mudah ketika menerapkan aturan ini, asalkan semua syarat aturannya terpenuhi, dan tentu kitanya pun harus lihai dalam menentukan turunan fungsinya. Untuk mengetahui syarat apa saja yang harus dipenuhi, pandang kembali Aturan L’Hôpital berikut ini:

Guillaume François Antoine, Markis de l’Hôpital

Teorema L’Hôpital. Misalkan $f(x)$ dan $g(x)$ fungsi yang terdiferensiasikan pada interval terbuka yang memuat $a$ , dan $f(a)=g(a)=0$ . Asumsikan juga $g'(x)\neq 0$ untuk $x$ yang terletak di sekitaran $a$ tetapi tidak sama dengan $a$ , maka berlaku
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
asalkan limitnya ada. Aturan yang sama juga berlaku jika $f(x)$ dan $g(x)$ terdiferensiasikan untuk $x$ di sekitar $a$ tetapi tidak sama dengan $a$ , dan
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)=\pm\infty$ serta $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} g(x)=\pm\infty$

Nah sekarang kita akan buktikan Aturan L’Hôpital ini. Ada beberapa versi pembuktiannya, namun yang akan kita bahas sekarang adalah pembuktian Aturan L’Hôpital untuk kasus $\frac{0}{0}$ dengan cara yang paling sederhana. Berikut bukti dari Aturan L’Hôpital untuk kasus $\frac{0}{0}$ :

Asumsikan fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ memenuhi semua syarat Aturan L’Hôpital, yakni misalkan $f(a)=g(a)=0$ dan $g'(a)\neq 0$ .

Maka untuk setiap $x$ , dapat dituliskan $f(x)=f(x)-f(a)$ dan $g(x)=g(x)-g(a)$ .

Jadi kita punya

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$

$\displaystyle =\lim_{x\rightarrow a}\frac{[f(x)-f(a)]/(x-a)}{[g(x)-g(a)]/(x-a)}$

$\displaystyle =\frac{\lim_{x\rightarrow a} [f(x)-f(a)]/(x-a)}{\lim_{x\rightarrow a}[f(a)-f(a)]/(x-a)}$

$=\frac{f'(a)}{g'(a)}$ .

Karena kita asumsikan $f'$ dan $g'$ kontinu di $a$ , maka dapat dituliskan

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

Terbukti deh. $\blacksquare$ .

Pembuktian Aturan L’Hôpital untuk kasus $\frac{\infty}{\infty}$ akan dibahas di dalam postingan yang lain.

Bukti keimanan adalah amalan.

Sumber Gambar:

https://en.wikipedia.org/wiki/Guillaume_de_l%27H%C3%B4pital

Baca Lagi Biar Pinter

Limit Fungsi Floor
61
Selain bertemu dengan limit dari fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi irasional dan fungsi trigonometri, kita juga akan belajar bagaimana cara…
Tags: $latex, limit, lim, fungsi, ightarrow, $, rac
Beberapa Kemungkinan Kondisi Limit Pada Suatu Fungsi
53
Kita akan melihat beberapa kemungkinan kondisi limit suatu fungsi yang sering muncul di soal kalkulus. Dari yang mudah, agak mudah…
Tags: $latex, limit, ightarrow, lim, fungsi
Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi, dan Pangkat pada Fungsi
49
Misalkan diberikan dua buah fungsi $latex f(x)$ dan $latex g(x)$ yang didefinisikan sebagai: [latexpage] $latex f(x)=\frac{x-1}{2}$ dan $latex g(x)=\sqrt{x-2}$ Kita…
Tags: $latex, rac, $, fungsi, limit
Komposisi Fungsi
45
Kita pernah memisalkan sebuah fungsi itu seperti "mesin blender" yang inputnya adalah bahan makanan/minuman, dan outputnya adalah sebuah makanan/minuman yang…
Tags: $latex, fungsi, limit
Fungsi Floor dan Grafiknya
44
Kita berkenalan dengan salah satu fungsi dasar di dalam matematika, namanya fungsi floor. Floor sendiri kalau diterjemahkan ke dalam bahasa indonesia…
Tags: $latex, $, fungsi, limit