Mewarnai Permukaan Terompet Torricelli, Mungkinkah?

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Mewarnai Permukaan Terompet Torricelli, Mungkinkah?

Totet totet tot tetoow, totet totet tot tetoow, totet totet tot tetoow, toteewww.. ♫ – Begitu kira-kira suara terompet di awal lagu Akad dari Payung Teduh, pasti hampir setiap orang sudah pernah mendengar lagu tersebut. Pada postingan kali ini, kita akan membahas terompet yang sering kita dengar baik di dalam lagu akad, di setiap malam penghujung tahun Masehi, dan di tempat mainan anak-anak. Tapi terompet yang akan kita bahas ini bukan sembarang terompet, karena terompet ini dikenal sebagai Gabriel’s Horn.

Ada satu paradoks menarik di dalam Matematika yang dikenal dengan nama Paradoks Terompet Torricelli, yang mana dicetuskan oleh Evangelista Torricelli, seorang Fisikawan berkebangsaan Italia. Paradoks ini dikenal juga sebagai Paradoks Terompet Jibril.

Misalkan kita diberikan sebuah terompet yang dibentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva $y=\frac{1}{x}$ , garis $x=1$ , sumbu- $x$ , dan diputar terhadap sumbu- $x$ seperti dalam gambar berikut,

Sumber: dummies.com

yang mana bentuknya tersebut menyerupai sebuah terompet,

Terompet dalam gambar di atas dikenal juga sebagai terompet Jibril (Gabriel’s Horn). Kita dapat mengetahui volume dari terompet Torricelli sebagai,

$V=\pi \int_{1}^{\infty}(\frac{1}{x})^{2} dx=\lim_{a\rightarrow\infty} \pi\int_{1}^{a} \frac{1}{x^{2}}dx=\lim_{a\rightarrow\infty} \pi (1-\frac{1}{a})=\pi$

Nah setelah mengetahui volumenya, sekarang kita dengan isengnya berencana untuk mewarnai permukaan terompet tersebut, berhubung volumenya sebesar $\pi$ , sepertinya kita tidak akan membutuhkan cat warna yang banyak untuk mewarnai permukaan terompet Torricelli. Agar tahu seberapa banyak cat yang harus kita beli, maka terlebih dahulu kita harus menghitung luas permukaan dari terompet tersebut. Karena sudah paham ilmu kalkulus, pasti enggak sulit dong menentukan luas permukaan dari benda putar, yang mana rumusnya diberikan oleh persamaan

$S=2\pi\int_{a}^{b} r(x)\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^{2}}dx$

Jadi pada kasus ini kita peroleh $r(x)=\frac{1}{x}$ , dan $\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x^{2}}$ . Karenanya didapat

$S=2\pi\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\sqrt{1+(-\frac{1}{x^{2}})^{2}}dx=2\pi \lim_{a\rightarrow\infty} \int_{1}^{a}\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^{4}}}dx$

Integral pada ruas kanan cukup sulit untuk diselesaikan, tapi perhatikan bahwa $\sqrt{1+\frac{1}{x^{4}}}>1$ dan $\frac{1}{x}>0$ , sehingga diperoleh

$S=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^{4}}}dx\geq 2\pi\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}dx$

$S\geq \lim_{a\rightarrow\infty} 2\pi\int_{1}^{a}\frac{1}{x}dx$

$S\geq \lim_{a\rightarrow\infty} 2\pi lna$

Karena $\lim_{a\rightarrow\infty} 2\pi lna=\infty$ , maka luas permukaan terompet Torricelli tersebut $S\geq \infty$ , ini artinya terompet Torricelli memiliki luas permukaan tak terhingga! Wah~ jika sudah mengetahui hasil ini, sepertinya rencana ingin mewarnai permukaan terompet tersebut harus kita batalkan, sebab sebanyak apapun cat warna yang kita beli, kita tidak akan mungkin bisa mewarnai semua permukaan terompetnya yang memiliki luas permukaan tak terhingga. Jadi jangan nekad untuk mewarnai terompet Torricelli ya!

Referensi:

Gabriel’s Horn. Brilliant. Diakses 08 Januari 2018. [https://brilliant.org/wiki/gabriels-horn/]