Menjawab Soal Limit Fungsi Menggunakan Definisi

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Menjawab Soal Limit Fungsi Menggunakan Definisi

Definisi Limit :

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} f(x)=L$

artinya :

Ketika x dekat ke c, maka f(x) dekat ke L

Jika kita kontruksi kalimat di atas menjadi definisi formal, maka bahasa matematika yang bisa kita pakai untuk “x dekat ke c” adalah jarak x dengan c, dekat.

Jarak diwakili oleh tanda mutlak ||, dekat diwakili oleh nilai konstanta yang kecil ( $\delta$ ).

Begitu pun dengan f(x) dekat ke L. Kita misalkan $\epsilon$ untuk nilai jarak yang kecil.

Karena limit berbicara “x dekat ke c” bukan “x sama dengan c”, maka harus muncul $0<|x-c|$

Dan karena jarak tidak pernah negatif, maka harus dimunculkan $\epsilon >0$ dan $\delta>0$

Definsi Formal.

$\forall \epsilon >0, \exists$ , $\delta >0$ sedemikian sehingga jika $0<|x-c|<\delta$ maka $|f(x)-L|<\epsilon$

Yang Harus Diperhatikan Ketika Menjawab Soal Limit Menggunakan Definsi :

1. $\forall \epsilon >0$ diketahui, $\delta >0$ dicari, kemudian dipilih.

2. $0<|x-c|<\delta$ dimisalkan, $|f(x)-L|<\epsilon$ harus ditunjukkan diakhir bukan ditulis di awal jawaban

Contoh Soal

Buktikan menggunakan definisi bahwa

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 4} (3x-6)=6$

Step by Step Solution

1.Coretan/Kotretan

Analisis induktif (berfikir dari belakang ke depan) untuk mencari $\delta$ pada $0<|x-4|<\delta$

$|3x-6-6|<\epsilon$ . Selanjutnya saya hilangkan $< \epsilon$ agar memudahkan pembaca dalam memahami berbagai tipe soal.

$|3x-6-6|$

$|3x-12|$

$|3(x-4)|$

$|3||x-4|$ . “Kita tahu” $|x-4|<\delta$ maka kita kali kedua ruas dengan 3, maka diperoleh

$|3||x-4|<3\delta$

Maka, kita pilih $\epsilon = 3 \delta$ sehingga $\delta = \frac{\epsilon}{3}$

2.Jawaban Formal

Ambil sebarang $\epsilon >0$ pilih $\delta = \frac{\epsilon}{3}$ sedemikian sehingga jika

$0<|x-4|<\epsilon$ maka

$|f(x)-L|$

$|3x-6-6|$

$|3x-12|$

$|3||x-4|$

$|3||x-4|<3\delta=3\frac{\epsilon}{3}=\epsilon$

Done!

Cara Yang Diajarkan Buku Purcell

$|3x-6-6|<\epsilon$

$|3x-12|<\epsilon$

$|3||x-4|<\epsilon$

$|x-4|<\frac{\epsilon}{3}$

Jadi, kita pilih $\delta=\frac{\epsilon}{3}$

Cara ini menurut penulis lebih mudah, tetapi jika dilakukan pada tipe soal lain yang memerlukan teknik pertidaksamaan segitiga menjadi lebih sukar difahami.

Tipe Soal-Soal Lain :

1.Memuat pembagian

2.Memuat akar

3.Memuat pangkat

Catatan :

1.Arti kata “terdapat $\delta$ ” pada definisi, $\delta$ bisa jadi ada banyak. Tugas kita hanya memilih satu diantara semua kemungkinan untuk membuktikan bahwa “terdapat $\delta$ “.

2.Karena kita berbicara $\delta$ yang kecil, pada tipe soal tertentu diasumsikan kita bekerja pada $\delta =1$ kemudian mencari $\delta$ yang lain dan mencari yang paling minimum diantara keduanya. Kenapa yang paling minimum? Karena yang paling minimum, $\delta$ nya merupakan irisan yang juga berada pada $\delta$ lainnya.

3.Jika kamu ragu dengan pilihan $\delta$ kamu, maka kamu bisa cek apakah pilihanmu benar dengan cara mengambil $\epsilon$ sebarang.

Jangan merasa aman sampai melihat bangkai iblis, jangan merasa tenang hingga menginjak tanah surga, jangan sibuk dengan aib orang lain jika kamu masih banyak kekurangan