Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Add post

Add question

Menjawab Soal Limit Fungsi Menggunakan Definisi

\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} f(x)=L

artinya :

Ketika x dekat ke c, maka f(x) dekat ke L

Jika kita kontruksi kalimat di atas menjadi definisi formal, maka bahasa matematika yang bisa kita pakai untuk “x dekat ke c” adalah jarak x dengan c, dekat. Jarak diwakili oleh tanda mutlak ||, dekat diwakili oleh nilai konstanta yang kecil (\delta).

Begitu pun dengan f(x) dekat ke L. Kita misalkan \epsilon untuk nilai jarak yang kecil.

Karena jarak tidak pernah negatif, dan limit berbicara “x dekat ke c” bukan “x sama dengan c” dan bukan “f(x) sama dengan L”, maka harus dimunculkan \epsilon >0 dan \delta>0

Definsi Formal.

\forall \epsilon >0, \exists \delta >0 sedemikian sehingga jika 0<|x-c|<\delta maka |f(x)-L|<\epsilon

Yang Harus Diperhatikan Ketika Menjawab Soal Limit Menggunakan Definsi :

1.\forall \epsilon >0 diketahui, \delta >0 dicari kemudian dipilih.

2.0<|x-c|<\delta dimisalkan, |f(x)-L|<\epsilon harus ditunjukkan diakhir bukan ditulis di awal jawaban

Contoh Soal

Buktikan menggunakan definisi bahwa

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 4} (3x-6)=6

Step by Step

1.Coretan/Kotretan

Analisis induktif (berfikir dari belakang ke depan) untuk mencari \delta pada 0<|x-4|<\delta

|3x-6-6|<\epsilon. Selanjutnya saya hilangkan < \epsilon agar memudahkan pembaca dalam memahami berbagai tipe soal.

|3x-6-6|

|3x-12|

|3(x-4)|

|3||x-4|. “Kita tahu” |x-4|<\delta maka kita kali kedua ruas dengan 3, maka diperoleh

|3||x-4|<3\delta

Maka, kita pilih \epsilon = 3 \delta sehingga \delta = \frac{\epsilon}{3}

2.Jawaban Formal

Ambil sebarang \epsilon >0 pilih \delta = \frac{\epsilon}{3} sedemikian sehingga jika

0<|x-4|<\epsilon maka

|f(x)-L|

|3x-6-6|

|3x-12|

|3||x-4|

|3||x-4|<3\delta=3\frac{\epsilon}{3}=\epsilon

Done!

Cara Yang Diajarkan Buku Purcell

|3x-6-6|<\epsilon

|3x-12|<\epsilon

|3||x-4|<\epsilon

|x-4|<\frac{\epsilon}{3}

Jadi, kita pilih \delta=\frac{\epsilon}{3}

Cara ini menurut penulis lebih mudah, tetapi jika dilakukan pada tipe soal lain yang memerlukan teknik pertidaksamaan segitiga menjadi lebih sukar difahami.

Tipe Soal-Soal Lain :

1.Memuat pembagian

2.Memuat akar

3.Memuat pangkat

Catatan :

1.Arti kata “terdapat \delta” pada definisi, \delta bisa jadi ada banyak. Tugas kita hanya memilih satu diantara semua kemungkinan untuk membuktikan bahwa “terdapat \delta“.

2.Karena kita berbicara \delta yang kecil, pada tipe soal tertentu diasumsikan kita bekerja pada \delta =1 kemudian mencari \delta yang lain dan mencari yang paling minimum diantara keduanya. Kenapa yang paling minimum? Karena yang paling minimum, \delta nya merupakan irisan yang juga berada pada \delta lainnya.

3.Jika kamu ragu dengan pilihan \delta kamu, maka kamu bisa cek apakah pilihanmu benar dengan cara mengambil \epsilon sebarang.

(under revision)

Jangan merasa aman sampai melihat bangkai iblis, jangan merasa tenang hingga menginjak tanah surga, jangan sibuk dengan aib orang lain jika kamu masih banyak kekurangan

Baca Lagi Biar Pinter

  • 60
    1.$\delta$ harus bergantung pada $\epsilon$. Tidak boleh bergantung pada x. [latexpage] 2.Susah menemukan bentuk $0<|x-c|<\delta$ dari $|f(x)-L|<\epsilon$. 3.$\delta$ ada banyak.…
    Tags: $, yang, menggunakan, pembuktian, limit
  • 40
    Melanjutkan materi sebelumnya (Limit di Tak Hingga (Pendahuluan)), sekarang kita akan membahas bagaimana caranya membangun definisi secara presisi dari limit…
    Tags: limit, definisi
  • 38
    Ketika menduduki bangku SD, kita sudah dikenalkan dengan Teorema Pythagoras untuk mencari sisi miring pada segitiga siku-siku. Tahukah teman-teman darimana…
    Tags: $, pembuktian, yang, limit
  • 33
    Apa itu limit di tak hingga? apakah bisa kita memberikan definisi $latex (\varepsilon, \delta)$ dari limit di tak hingga? bagaimana…
    Tags: $, yang, limit
  • 32
    [latexpage] Soal-soal 0.3 Sistem Koordinat Rektangular Dalam soal-soal 1-4 gambarlah titik-titik yang diberikan dalam bidang koordinat dan kemudian carilah jarak…
    Tags: $

About Riad Taufik LazwardiSweet

Lecturer of Mathematics at 1. Kalbis Institute | Managed by Binus (2018-now) 2. Telkom University (2017-2018) 3. UIN Bandung (2015-2018)

Follow Me

Leave a reply