Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Add question

Login

Register Now

Your data is secured. So, please complete the form.

Menghitung Perbedaan Rata-Rata Yang Rajin Kuliah Dan Malas Menggunakan Interval

Problem : Untuk melihat apakah ada perbedaan nilai mahasiswa yang rajin kuliah dan yang jarang kuliah, seorang dosen mengambil sampel nilai dari 530 mahasiswa. Dari 220 mahasiswa yang jarang kuliah dosen mengambil sampel (ngacak) 5 nilai. Dari 310 mahasiswa yang rajin kuliah, dosen juga mengambil sampel 5 nilai.

Diperolehlah tabel nilai mahasiswa  sebagai berikut :

JarangRajin
4169
8156
5283
6970
6292

1.Carilah perbedaan rata-rata dua kelompok dari populasi 220 dan 310 dengan cara menghitung perbedaan rata-rata yang diperoleh dari data sampel lalu membuat interval yang kita harapkan perbedaan rata-rata dua populasi ada di dalam interval tersebut. Kemudian kita ingin percaya terhadap perhitungan dari data sampel, sebesar 95\%.! Artinya,  dalam 100 kali percobaan mengambil sampel,  95 kali perbedaan rata-rata populasinya berada di dalam interval yang kita buat.

2.Apakah interval kepercayaan yang diperoleh dapat menjelaskan perbedaan diantara dua kelompok tersebut?

Jawab

Tujuan soal ini adalah mengetahui perbedaan rata-rata mahasiswa  yang rajin dan jarang dengan cara mengambil sampel (hanya) sebanyak 5 nilai dari 220 yang rajin dan 5 nilai dari 310 yang jarang.

Step by step :

1.Hitung perbedaan rata-rata sampel

2.Apakah perbedaan rata-rata sampel  merupakan rata-rata populasi? Tentu bukan. Kita mesti menghitung error dari rata-rata sampel bila kita ingin mengklaim rata-rata sampel mendekati rata-rata populasi.

3.Mengkonstruksi interval yang memuat perbedaan rata-rata populasi.

Menghitung perbedaan rata-rata sampel

Rata-rata nilai yang jarang masuk dari data sampel : \frac{41+81+52+69+62}{5}=61

Rata-rata nilai yang rajin masuk dari data sampel : \frac{69+56+83+70+92}{5}=74

Perbedaan rata-rata : 74-61=13

Menghitung error perbedaan rata-rata sampel, apabila ingin diklaim sebagai perbedaan rata-rata populasi

Note : Error berbanding lurus dengan variasi populasi dan berbanding terbalik dengan jumlah sampel.

Error : \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}

s_1^2 adalah variasi kelompok jarang.

n_1^2 adalah ukuran sampel kelompok jarang.

Mengkonstruksi interval yang memuat perbedaan rata-rata populasi

Asumsi : Perbedaan Rata-rata populasi berada diantara perbedaan rata-rata sampel dikurangi error dan perbedaan rata-rata sampel ditambah error

(\bar{x_1}-\bar{x_2})-\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}} < \mu_1-\mu_2<(\bar{x_1}-\bar{x_2})+\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}

Karena penulisan interval di atas ribet, maka disepakati cukup menulis :

(\bar{x_1}-\bar{x_2})\pm \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}

Jangan lupa masukan faktor seberapa besar kita ingin mempercayai bahwa perbedaan rata-rata populasi berada diantara perbedaan rata-rata sampel !

Jika ukuran sampel lebih dari 30 kita pakai tabel distribusi peluang Z

(\bar{x_1}-\bar{x_2})\pm Z \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}

Jika ukuran sampel lebih dari 30 kita pakai tabel distribusi peluang t

(\bar{x_1}-\bar{x_2})\pm t \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}

Jawaban soal tanpa memasukan faktor kepercayaan terhadap hasil:

13-\sqrt{\frac{219 s_1^2+309 s_2^2}{219+309-2}}\sqrt{\frac{1}{219}+\frac{1}{309}} < \mu_1-\mu_2<13+\sqrt{\frac{219s_1^2+309s_2^2}{219+309-2}}\sqrt{\frac{1}{219}+\frac{1}{309}}

s_1^2 adalah variasi kelompok jarang yang bisa dicari dengan excel dengan formula =var.

Setelah kita peroleh variasinya, maka interval akan menjadi :

13-\sqrt{\frac{219*236+309*192.5}{219+309-2}}\sqrt{\frac{1}{219}+\frac{1}{309}} < \mu_1-\mu_2<13+\sqrt{\frac{219*236+309*192.5}{219+309-2}}\sqrt{\frac{1}{219}+\frac{1}{309}}

13-1.28 < \mu_1-\mu_2<13+1.28

11.72 < \mu_1-\mu_2<14.28

Kesimpulan dan Interpretasi :

Perbedaan nilai rata-rata orang yang jarang dengan orang yang rajin adalah berkisar diantara 11.72 dan 14.28

Apakah beda nilai orang yang jarang dan yang rajin?

Ya, beda. Buktinya bahwa perbedaannya sebesar 11.72 sampai 14.28

Bagaimana jika dimasukan faktor kepercayaan terhadap hasil ?

Karena ukuran sampel kurang dari 30, maka kita mesti menggunakan tabel t.

Bahwa untuk mempercayai hasil sebesar 95 % nilai t nya adalah 2.306

13-2.306\sqrt{\frac{219*236+309*192.5}{219+309-2}}\sqrt{\frac{1}{219}+\frac{1}{309}} < \mu_1-\mu_2<13+2.306\sqrt{\frac{219*236+309*192.5}{219+309-2}}\sqrt{\frac{1}{219}+\frac{1}{309}}

13-2.306*1.28 < \mu_1-\mu_2<13+2.306*1.28

13-2.95 < \mu_1-\mu_2<13+2.95

10.05 < \mu_1-\mu_2<15.95

Jadi, jika kita memasukan faktor kepercayaan terhadap hasil maka selang interval akan semakin lebar.

Semakin kita ingin mempercayai bahwa parameter yang kita cari berada pada interval yang kita buat berdasarkan data sampel, maka interval akan semakin lebar.

Kesimpulan Jawaban :

Perbedaan nilai rata-rata orang yang jarang dengan orang yang rajin adalah berkisar diantara 10.05 dan 15.95 dengan kepercayaan terhadap hasil sebesar 95\%.

 

Note : Definisi error dari rata-rata adalah standar deviasi dari Variasi (rata-rata), yaitu \frac{standar deviasi sampel}{\sqrt{n}}.

 

sumber : allfreedownload

Barangsiapa yang bersusah payah mencari ilmu maka Allah akan memudahkannya menuju ke jalan surga.

 


About Riad Taufik Lazwardiclever

Lecturer of Mathematics at 1. Kalbis Institute | Managed by Binus (2018-now) 2. Telkom University (2017-2018) 3. UIN Bandung (2015-2018)

Follow Me

Leave a reply