Limit di Tak Hingga (Lanjutan)

Username*

E-Mail*

Password*

Confirm Password*

Profile Picture*

Browse

First Name*

Last Name*

Display name*

Country*

City*

Age*

Phone*

Sex* Male

Female

Add question

Limit di Tak Hingga (Lanjutan)

Melanjutkan materi sebelumnya (Limit di Tak Hingga (Pendahuluan)), sekarang kita akan membahas bagaimana caranya membangun definisi secara presisi dari limit di tak hingga, namun pertama-tama kita tinjau kembali grafik fungsi $f(x)=\frac{1}{x}$ berikut:

Terlihat bahwa $f(x)$ akan semakin mendekati nol ketika $x$ menuju $+\infty$ . Serupa dengan itu, $f(x)$ juga akan mendekati nol ketika $x$ menuju $-\infty$ . Pertanyaan sekarang adalah, bisakah kita menggunakan bahasa limit untuk menggambarkan prilaku ini?

Berdasarkan definisi limit yang pernah kita pelajari, $\lim_{x\rightarrow c} f(x)=L$ mengatakan bahwa kita dapat membuat $f(x)$ dekat ke $L$ dengan menjaga jarak $x$ cukup dekat ke $c$ . Jika $c$ ini diganti dengan $+\infty$ atau $-\infty$ , maka apa maksudnya dengan “ $x$ cukup dekat dengan $\infty$ ?”. Karena tak hingga bukan merupakan sebuah bilangan, maka definisi ( $\varepsilon,\delta$ ) pada limit tidak berlaku. Jadi ide pertama yang bisa kita bangun adalah mengganti kalimat “ $x$ cukup dekat dengan $\infty$ ” menjadi “ $x$ yang cukup besar”, atau pernyataan ini setara dengan “terdapat bilangan $N$ sehingga $x>N$ “.

Sekarang tinjau gambar berikutMisalkan diberikan kurva dari fungsi $y=f(x)$ sehingga untuk $x$ menuju $+\infty$ , atau untuk $x$ yang cukup besar, maka grafik $f(x)$ semakin mendekati $L$ . Jadi secara sederhana dapat dikatakan

Untuk $x$ yang cukup besar, maka jarak $f(x)$ ke $L$ dapat dibuat sekecil mungkin

Secara matematis dapat dituliskan sebagai

$|f(x)-L|<\varepsilon$ untuk sebarang $\varepsilon >0$ jika terdapat $N$ sehingga $x>N$

atau

$\forall\varepsilon >0 \exists N \ni x>N\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

Jadi kita simpulkan

$\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=L$ berarti bahwa untuk sebarang $\varepsilon >0$ terdapat $N$ sehingga untuk $x>N$ maka $|f(x)-L|<\varepsilon$

Voila! kita sudah menemukan definisi presisi dari limit di tak hingga. Hal yang serupa juga dapat dilakukan untuk menemukan definisi presisi dari limit $x$ menuju $-\infty$ , yaitu

$\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=L$ berarti bahwa untuk sebarang $\varepsilon >0$ terdapat $M$ sehingga untuk $x<M$ maka $|f(x)-L|<\varepsilon$