Limit di Tak Hingga (Lanjutan)

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Attachment

Browse

Details*

Add question

Limit di Tak Hingga (Lanjutan)

Melanjutkan materi sebelumnya (Limit di Tak Hingga (Pendahuluan)), sekarang kita akan membahas bagaimana caranya membangun definisi secara presisi dari limit di tak hingga, namun pertama-tama kita tinjau kembali grafik fungsi $f(x)=\frac{1}{x}$ berikut:

Terlihat bahwa $f(x)$ akan semakin mendekati nol ketika $x$ menuju $+\infty$ . Serupa dengan itu, $f(x)$ juga akan mendekati nol ketika $x$ menuju $-\infty$ . Pertanyaan sekarang adalah, bisakah kita menggunakan bahasa limit untuk menggambarkan prilaku ini?

Berdasarkan definisi limit yang pernah kita pelajari, $\lim_{x\rightarrow c} f(x)=L$ mengatakan bahwa kita dapat membuat $f(x)$ dekat ke $L$ dengan menjaga jarak $x$ cukup dekat ke $c$ . Jika $c$ ini diganti dengan $+\infty$ atau $-\infty$ , maka apa maksudnya dengan “ $x$ cukup dekat dengan $\infty$ ?”. Karena tak hingga bukan merupakan sebuah bilangan, maka definisi ( $\varepsilon,\delta$ ) pada limit tidak berlaku. Jadi ide pertama yang bisa kita bangun adalah mengganti kalimat “ $x$ cukup dekat dengan $\infty$ ” menjadi “ $x$ yang cukup besar”, atau pernyataan ini setara dengan “terdapat bilangan $N$ sehingga $x>N$ “.

Sekarang tinjau gambar berikutMisalkan diberikan kurva dari fungsi $y=f(x)$ sehingga untuk $x$ menuju $+\infty$ , atau untuk $x$ yang cukup besar, maka grafik $f(x)$ semakin mendekati $L$ . Jadi secara sederhana dapat dikatakan

Untuk $x$ yang cukup besar, maka jarak $f(x)$ ke $L$ dapat dibuat sekecil mungkin

Secara matematis dapat dituliskan sebagai

$|f(x)-L|<\varepsilon$ untuk sebarang $\varepsilon >0$ jika terdapat $N$ sehingga $x>N$

atau

$\forall\varepsilon >0 \exists N \ni x>N\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

Jadi kita simpulkan

$\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=L$ berarti bahwa untuk sebarang $\varepsilon >0$ terdapat $N$ sehingga untuk $x>N$ maka $|f(x)-L|<\varepsilon$

Voila! kita sudah menemukan definisi presisi dari limit di tak hingga. Hal yang serupa juga dapat dilakukan untuk menemukan definisi presisi dari limit $x$ menuju $-\infty$ , yaitu

$\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=L$ berarti bahwa untuk sebarang $\varepsilon >0$ terdapat $M$ sehingga untuk $x<M$ maka $|f(x)-L|<\varepsilon$

Baca Lagi Biar Pinter

Limit di Tak Hingga (Pendahuluan)
72
Apa itu limit di tak hingga? apakah bisa kita memberikan definisi $latex (\varepsilon, \delta)$ dari limit di tak hingga? bagaimana…
Tags: $latex, tak, hingga, limit
Eksistensi Tak Terhingga
62
Tak terhingga, disimbolkan dengan $latex \infty$, merupakan suatu konsep abstrak untuk objek yang lebih besar dari bilangan apapun. Perlu dicatat…
Tags: tak, di, $latex, hingga, definisi
Kondisi Fungsi yang Tidak Memiliki Limit
53
Apakah setiap fungsi memiliki limit di titik $latex c$? tentu dapat dengan tegas kita jawab "tidak", sebab ada syarat tertentu…
Tags: $latex, limit, tak, hingga
Soal Latihan Deret Tak Hingga dan Irisan Kerucut
52
Assalamu'alaikum. Berikut saya lampirkan soal latihan serta pembahasan bab Deret Tak Hingga dan Irisan Kerucut. Silahkan diunduh di: Soal Latihan…
Tags: hingga, tak, di
Tak Terdefinisi, Tak Tentu, Tak Hingga Apa sih？
51
Saat belajar kalkulus, kita terkadang bertemu dengan istilah yang rada membuat kita mimisan. Semisal tak terdefinisi, tak tentu atau tak…
Tags: tak, $latex, limit, hingga