Limit di Tak Hingga (Lanjutan)

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Melanjutkan materi sebelumnya (Limit di Tak Hingga (Pendahuluan)), sekarang kita akan membahas bagaimana caranya membangun definisi secara presisi dari limit di tak hingga, namun pertama-tama kita tinjau kembali grafik fungsi $f(x)=\frac{1}{x}$ berikut:

Terlihat bahwa $f(x)$ akan semakin mendekati nol ketika $x$ menuju $+\infty$ . Serupa dengan itu, $f(x)$ juga akan mendekati nol ketika $x$ menuju $-\infty$ . Pertanyaan sekarang adalah, bisakah kita menggunakan bahasa limit untuk menggambarkan prilaku ini?

Berdasarkan definisi limit yang pernah kita pelajari, $\lim_{x\rightarrow c} f(x)=L$ mengatakan bahwa kita dapat membuat $f(x)$ dekat ke $L$ dengan menjaga jarak $x$ cukup dekat ke $c$ . Jika $c$ ini diganti dengan $+\infty$ atau $-\infty$ , maka apa maksudnya dengan “ $x$ cukup dekat dengan $\infty$ ?”. Karena tak hingga bukan merupakan sebuah bilangan, maka definisi ( $\varepsilon,\delta$ ) pada limit tidak berlaku. Jadi ide pertama yang bisa kita bangun adalah mengganti kalimat “ $x$ cukup dekat dengan $\infty$ ” menjadi “ $x$ yang cukup besar”, atau pernyataan ini setara dengan “terdapat bilangan $N$ sehingga $x>N$ “.

Sekarang tinjau gambar berikutMisalkan diberikan kurva dari fungsi $y=f(x)$ sehingga untuk $x$ menuju $+\infty$ , atau untuk $x$ yang cukup besar, maka grafik $f(x)$ semakin mendekati $L$ . Jadi secara sederhana dapat dikatakan

Untuk $x$ yang cukup besar, maka jarak $f(x)$ ke $L$ dapat dibuat sekecil mungkin

Secara matematis dapat dituliskan sebagai

$|f(x)-L|<\varepsilon$ untuk sebarang $\varepsilon >0$ jika terdapat $N$ sehingga $x>N$

atau

$\forall\varepsilon >0 \exists N \ni x>N\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

Jadi kita simpulkan

$\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=L$ berarti bahwa untuk sebarang $\varepsilon >0$ terdapat $N$ sehingga untuk $x>N$ maka $|f(x)-L|<\varepsilon$

Voila! kita sudah menemukan definisi presisi dari limit di tak hingga. Hal yang serupa juga dapat dilakukan untuk menemukan definisi presisi dari limit $x$ menuju $-\infty$ , yaitu

$\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=L$ berarti bahwa untuk sebarang $\varepsilon >0$ terdapat $M$ sehingga untuk $x<M$ maka $|f(x)-L|<\varepsilon$