Melanjutkan materi sebelumnya (Limit di Tak Hingga (Pendahuluan)), sekarang kita akan membahas bagaimana caranya membangun definisi secara presisi dari limit di tak hingga, namun pertama-tama kita tinjau kembali grafik fungsi berikut:
Terlihat bahwa akan semakin mendekati nol ketika
menuju
. Serupa dengan itu,
juga akan mendekati nol ketika
menuju
. Pertanyaan sekarang adalah, bisakah kita menggunakan bahasa limit untuk menggambarkan prilaku ini?
Berdasarkan definisi limit yang pernah kita pelajari, mengatakan bahwa kita dapat membuat
dekat ke
dengan menjaga jarak
cukup dekat ke
. Jika
ini diganti dengan
atau
, maka apa maksudnya dengan “
cukup dekat dengan
?”. Karena tak hingga bukan merupakan sebuah bilangan, maka definisi (
) pada limit tidak berlaku. Jadi ide pertama yang bisa kita bangun adalah mengganti kalimat “
cukup dekat dengan
” menjadi “
yang cukup besar”, atau pernyataan ini setara dengan “terdapat bilangan
sehingga
“.
Sekarang tinjau gambar berikutMisalkan diberikan kurva dari fungsi
sehingga untuk
menuju
, atau untuk
yang cukup besar, maka grafik
semakin mendekati
. Jadi secara sederhana dapat dikatakan
Untuk yang cukup besar, maka jarak
ke
dapat dibuat sekecil mungkin
Secara matematis dapat dituliskan sebagai
untuk sebarang
jika terdapat
sehingga
atau
Jadi kita simpulkan
berarti bahwa untuk sebarang
terdapat
sehingga untuk
maka
Voila! kita sudah menemukan definisi presisi dari limit di tak hingga. Hal yang serupa juga dapat dilakukan untuk menemukan definisi presisi dari limit menuju
, yaitu
berarti bahwa untuk sebarang
terdapat
sehingga untuk
maka
Leave a reply