Kondisi Fungsi yang Tidak Memiliki Limit

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Kondisi Fungsi yang Tidak Memiliki Limit

Apakah setiap fungsi memiliki limit di titik $c$ ? tentu dapat dengan tegas kita jawab TIDAK. Berikut kondisi fungsi yang tidak memiliki limit :

1. Terputus

Sebagai contoh, diberikan fungsi $f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$ . Apakah $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} f(x)$ ada? kita dapat menentukan limit kiri dan limit kanannya baik secara aljabar maupun secara grafik. Menurut definisi nilai mutlak, dapat kita definisikan

$|x-1|=\begin{cases}x-1, & x\geq 1\\ -(x-1), & x < 1\end{cases}$

Jadi limit kiri dari $f(x)$ adalah

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{-(x-1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^{-}} (-1)=-1$

dan limit kanannya adalah

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{x-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^{+}} (1)=1$

sehingga diperoleh $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)$ . Akibatnya fungsi $f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$ tidak memiliki limit di titik $x=1$ . Jika kita plotkan grafik $f(x)$ dalam koordinat Kartesius, maka dapat terlihat bahwa

grafik fungsi $f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$ terlihat seakan-akan “terputus” di titik $x=1$ . Jika nilai $x$ mendekati $1$ dari kiri, maka $f(x)$ akan semakin dekat ke $-1$ . Jika $x$ mendekati $1$ dari sebelah kanan, maka $f(x)$ semakin dekat ke $1$ .

2. Berfluktuasi

Kondisi lain fungsi yang tidak memiliki limit di suatu titik dapat dilihat dari prilaku fungsi tersebut yang berfluktuasi. Sebagai contoh fungsi $f(x)=sin(\frac{1}{x})$ yang memiliki gambar grafik sebagai berikut ini

ketika $x$ dekat dengan $0$ , maka $f(x)$ bergelombang/berfluktuasi tak terbatas di antara $-1$ dan $1$ . Oleh karena itu limit fungsi $f(x)=sin(\frac{1}{x})$ di titik $x=0$ tidak ada.

Analisis: Karena bagaimanapun kita memilih $\delta>0$ , kita juga dapat memilih $x_{1}$ dan $x_{2}$ yang jaraknya dari titik nol kurang dari $\delta$ , sehingga berlaku $sin(\frac{1}{x_{1}})=1$ dan $sin(\frac{1}{x_{2}})=-1$ .

3. Tak Terbatas

Kondisi terakhir fungsi yang tidak memiliki limit di titik $c$ adalah prilaku grafik fungsi yang tak terbatas. Contohnya adalah fungsi $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ .Perhatikan bahwa ketika $x$ mendekati $0$ baik dari sebelah kiri ataupun kanan maka fungsi $f(x)$ akan membesar tak terbatas. Ini artinya jika kita memilih nilai $x$ yang dekat dengan nol, maka nilai fungsinya akan sangat besar. Misalnya nilai $f(x)$ akan lebih besar dari $100$ jika kita memilih nilai $x$ di antara $\frac{1}{10}$ dan $0$ , dituliskan

$0<|x|<\frac{1}{10} \Rightarrow f(x)=\frac{1}{x^{2}}>\frac{1}{100}$

Fungsi $f(x)$ tidak mendekati nilai tunggal apapun ketika $x$ mendekati $0$ . Jadi dapat kita katakan bahwa $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}$ tidak ada.

Syarat Bagi Suatu Fungsi Agar Memiliki Limit Di Suatu Titik c

Nah fungsi $f(x)$ dikatakan memiliki limit di titik $c$ jika dan hanya jika

“limit kiri dan limit kanannya bernilai sama.”

Catatan. Limit dari suatu fungsi haruslah suatu bilangan unik (tunggal).

Bila saja matahari tidak ada, bisakah manusia menerangi bumi?