Kondisi Fungsi yang Tidak Memiliki Limit

Username*

E-Mail*

Password*

Confirm Password*

Profile Picture*

Browse

First Name*

Last Name*

Display name*

Country*

City*

Age*

Phone*

Sex* Male

Female

Kondisi Fungsi yang Tidak Memiliki Limit

Apakah setiap fungsi memiliki limit di titik $c$ ? tentu dapat dengan tegas kita jawab “tidak”, sebab ada syarat tertentu bagi suatu fungsi agar memiliki limit di suatu titik. Apa saja syaratnya itu? mari kita terlebih dahulu memahami beberapa definisi berikut:

Untuk mengatakan bahwa $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c^{-}} f(x)=L$ , berarti ketika $x$ dekat dari sebelah kiri $c$ maka $f(x)$ dekat ke $L$ . Begitupun untuk mengatakan bahwa $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)=L$ , berarti ketika $x$ dekat dari sebelah kanan $c$ maka $f(x)$ dekat dengan $L$ . Kita katakan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)$ sebagai limit kiri dari $f(x)$ dan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)$ sebagai limit kanan dari $f(x)$ (materi terkait limit kiri dan limit kanan pernah dibahas di sini). Nah fungsi $f(x)$ dikatakan memiliki limit di titik $c$ jika dan hanya jika limit kiri dan limit kanannya bernilai sama.

Sebagai contoh, diberikan fungsi $f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$ . Apakah $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} f(x)$ ada? kita dapat menentukan limit kiri dan limit kanannya baik secara aljabar maupun secara grafik. Menurut definisi nilai mutlak, dapat kita definisikan

$|x-1|=\begin{cases}x-1, & x\geq 1\\ -(x-1), & x < 1\end{cases}$

Jadi limit kiri dari $f(x)$ adalah

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{-(x-1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^{-}} (-1)=-1$

dan limit kanannya adalah

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{x-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^{+}} (1)=1$

sehingga diperoleh $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)$ . Akibatnya fungsi $f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$ tidak memiliki limit di titik $x=1$ . Jika kita plotkan grafik $f(x)$ dalam koordinat Kartesius, maka dapat terlihat bahwa

grafik fungsi $f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$ terlihat seakan-akan “terputus” di titik $x=1$ . Jika nilai $x$ mendekati $1$ dari kiri, maka $f(x)$ akan semakin dekat ke $-1$ . Jika $x$ mendekati $1$ dari sebelah kanan, maka $f(x)$ semakin dekat ke $1$ .

Kondisi lain fungsi yang tidak memiliki limit di suatu titik dapat dilihat dari prilaku fungsi tersebut yang berfluktuasi. Sebagai contoh fungsi $f(x)=sin(\frac{1}{x})$ yang memiliki gambar grafik sebagai berikut ini

ketika $x$ dekat dengan $0$ , maka $f(x)$ bergelombang/berfluktuasi tak terbatas di antara $-1$ dan $1$ . Oleh karena itu limit fungsi $f(x)=sin(\frac{1}{x})$ di titik $x=0$ tidak ada.

Analisis: Karena bagaimanapun kita memilih $\delta>0$ , kita juga dapat memilih $x_{1}$ dan $x_{2}$ yang jaraknya dari titik nol kurang dari $\delta$ , sehingga berlaku $sin(\frac{1}{x_{1}})=1$ dan $sin(\frac{1}{x_{2}})=-1$ .

Kondisi terakhir fungsi yang tidak memiliki limit di titik $c$ adalah prilaku grafik fungsi yang tak terbatas. Contohnya adalah fungsi $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ .Perhatikan bahwa ketika $x$ mendekati $0$ baik dari sebelah kiri ataupun kanan maka fungsi $f(x)$ akan membesar tak terbatas. Ini artinya jika kita memilih nilai $x$ yang dekat dengan nol, maka nilai fungsinya akan sangat besar. Misalnya nilai $f(x)$ akan lebih besar dari $100$ jika kita memilih nilai $x$ di antara $\frac{1}{10}$ dan $0$ , dituliskan

$0<|x|<\frac{1}{10} \Rightarrow f(x)=\frac{1}{x^{2}}>\frac{1}{100}$

Fungsi $f(x)$ tidak mendekati nilai tunggal apapun ketika $x$ mendekati $0$ . Jadi dapat kita katakan bahwa $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}$ tidak ada.

Catatan. Limit dari suatu fungsi haruslah suatu bilangan unik (tunggal).

Bila saja matahari tidak ada, bisakah manusia menerangi bumi?