Apakah setiap fungsi memiliki limit di titik ? tentu dapat dengan tegas kita jawab “tidak”, sebab ada syarat tertentu bagi suatu fungsi agar memiliki limit di suatu titik. Apa saja syaratnya itu? mari kita terlebih dahulu memahami beberapa definisi berikut:
Untuk mengatakan bahwa , berarti ketika
dekat dari sebelah kiri
maka
dekat ke
. Begitupun untuk mengatakan bahwa
, berarti ketika
dekat dari sebelah kanan
maka
dekat dengan
. (materi terkait limit kiri dan limit kanan pernah dibahas di sini).
Syarat Bagi Suatu Fungsi Agar Memiliki Limit Di Suatu Titik c
Nah fungsi dikatakan memiliki limit di titik
jika dan hanya jika limit kiri dan limit kanannya bernilai sama.
1. Terputus
Sebagai contoh, diberikan fungsi . Apakah
ada? kita dapat menentukan limit kiri dan limit kanannya baik secara aljabar maupun secara grafik. Menurut definisi nilai mutlak, dapat kita definisikan
Jadi limit kiri dari adalah
dan limit kanannya adalah
sehingga diperoleh . Akibatnya fungsi
tidak memiliki limit di titik
. Jika kita plotkan grafik
dalam koordinat Kartesius, maka dapat terlihat bahwa
grafik fungsi terlihat seakan-akan “terputus” di titik
. Jika nilai
mendekati
dari kiri, maka
akan semakin dekat ke
. Jika
mendekati
dari sebelah kanan, maka
semakin dekat ke
.
2. Berfluktuasi
Kondisi lain fungsi yang tidak memiliki limit di suatu titik dapat dilihat dari prilaku fungsi tersebut yang berfluktuasi. Sebagai contoh fungsi yang memiliki gambar grafik sebagai berikut ini
ketika dekat dengan
, maka
bergelombang/berfluktuasi tak terbatas di antara
dan
. Oleh karena itu limit fungsi
di titik
tidak ada.
Analisis: Karena bagaimanapun kita memilih , kita juga dapat memilih
dan
yang jaraknya dari titik nol kurang dari
, sehingga berlaku
dan
.
3. Tak Terbatas
Kondisi terakhir fungsi yang tidak memiliki limit di titik adalah prilaku grafik fungsi yang tak terbatas. Contohnya adalah fungsi
.
Perhatikan bahwa ketika
mendekati
baik dari sebelah kiri ataupun kanan maka fungsi
akan membesar tak terbatas. Ini artinya jika kita memilih nilai
yang dekat dengan nol, maka nilai fungsinya akan sangat besar. Misalnya nilai
akan lebih besar dari
jika kita memilih nilai
di antara
dan
, dituliskan
Fungsi tidak mendekati nilai tunggal apapun ketika
mendekati
. Jadi dapat kita katakan bahwa
tidak ada.
Catatan. Limit dari suatu fungsi haruslah suatu bilangan unik (tunggal).
0Bila saja matahari tidak ada, bisakah manusia menerangi bumi?
Baca Lagi Biar Pinter
- 71Apa itu limit di tak hingga? apakah bisa kita memberikan definisi $latex (\varepsilon, \delta)$ dari limit di tak hingga? bagaimana…
- 65Kita akan melihat beberapa kemungkinan kondisi limit suatu fungsi yang sering muncul di soal kalkulus. Dari yang mudah, agak mudah…
- 58Nah, limit itu ada ketika limit kanan (-bisa dibaca dekati dari kanan) dan limit kirinya sama. Bahasa matematikanya, $latex \displaystyle \lim_{x\rightarrow…
- 56[latexpage] Pagi itu saya dikejutkan oleh message WhatsApp dari keponakan saya. "Aa, kumaha ieu teu ngartos?" (Kakak, bagaimana ini ngga ngerti?).…
- 53Melanjutkan materi sebelumnya (Limit di Tak Hingga (Pendahuluan)), sekarang kita akan membahas bagaimana caranya membangun definisi secara presisi dari limit…
Leave a reply