Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Send Message

Add post

Add question

You must login to ask question.

Kondisi Fungsi yang Tidak Memiliki Limit

Apakah setiap fungsi memiliki limit di titik c? tentu dapat dengan tegas kita jawab TIDAK. Berikut kondisi fungsi yang tidak memiliki limit :

1. Terputus

Sebagai contoh, diberikan fungsi f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}. Apakah   \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} f(x) ada? kita dapat menentukan limit kiri dan limit kanannya baik secara aljabar maupun secara grafik. Menurut definisi nilai mutlak, dapat kita definisikan

|x-1|=\begin{cases}x-1, & x\geq 1\\ -(x-1), & x < 1\end{cases}

Jadi limit kiri dari f(x) adalah

 \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{-(x-1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^{-}} (-1)=-1

dan limit kanannya adalah

 \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{x-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^{+}} (1)=1

sehingga diperoleh  \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x). Akibatnya fungsi f(x)=\frac{|x-1|}{x-1} tidak memiliki limit di titik x=1. Jika kita plotkan grafik f(x) dalam koordinat Kartesius, maka dapat terlihat bahwa

grafik fungsi f(x)=\frac{|x-1|}{x-1} terlihat seakan-akan “terputus” di titik x=1. Jika nilai x mendekati 1 dari kiri, maka f(x) akan semakin dekat ke -1. Jika x mendekati 1 dari sebelah kanan, maka f(x) semakin dekat ke 1.

2. Berfluktuasi

Kondisi lain fungsi yang tidak memiliki limit di suatu titik dapat dilihat dari prilaku fungsi tersebut yang berfluktuasi. Sebagai contoh fungsi f(x)=sin(\frac{1}{x}) yang memiliki gambar grafik sebagai berikut ini

ketika x dekat dengan 0, maka f(x) bergelombang/berfluktuasi tak terbatas di antara -1 dan 1. Oleh karena itu limit fungsi f(x)=sin(\frac{1}{x}) di titik x=0 tidak ada.

Analisis: Karena bagaimanapun kita memilih \delta>0, kita juga dapat memilih x_{1} dan x_{2} yang jaraknya dari titik nol kurang dari \delta, sehingga berlaku sin(\frac{1}{x_{1}})=1 dan sin(\frac{1}{x_{2}})=-1.

3. Tak Terbatas

Kondisi terakhir fungsi yang tidak memiliki limit di titik c adalah prilaku grafik fungsi yang tak terbatas. Contohnya adalah fungsi f(x)=\frac{1}{x^{2}}.Perhatikan bahwa ketika x mendekati 0 baik dari sebelah kiri ataupun kanan maka fungsi f(x) akan membesar tak terbatas. Ini artinya jika kita memilih nilai x yang dekat dengan nol, maka nilai fungsinya akan sangat besar. Misalnya nilai f(x) akan lebih besar dari 100 jika kita memilih nilai x di antara \frac{1}{10} dan 0, dituliskan

0<|x|<\frac{1}{10} \Rightarrow f(x)=\frac{1}{x^{2}}>\frac{1}{100}

Fungsi f(x) tidak mendekati nilai tunggal apapun ketika x mendekati 0. Jadi dapat kita katakan bahwa \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}} tidak ada.


Syarat  Bagi Suatu Fungsi Agar Memiliki Limit Di Suatu Titik c

Nah fungsi f(x) dikatakan memiliki limit di titik c jika dan hanya jika

limit kiri dan limit kanannya bernilai sama.”

CatatanLimit dari suatu fungsi haruslah suatu bilangan unik (tunggal).

Bila saja matahari tidak ada, bisakah manusia menerangi bumi?

About Arini Soesatyo Putribrilliant

Math Addict || Freelance Illustrator || Traveller || Blogger || Hijab Cosplayer || Anime Lover

Follow Me

Leave a reply