Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Login

Register Now

Kenapa suatu Pernyataan Matematika dapat Dibuktikan dengan Induksi Matematika? Ini Buktinya

Ada beberapa cara membuktikan suatu pernyataan matematika, di antaranya dengan melakukan pembuktian langsung, tidak langsung dan induksi matematika. Induksi matematika umumnya digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan yang berkaitan dengan bilangan asli, seperti membuktikan pernyataan, “Jika n^{2} bilangan genap, maka n juga bilangan genap, untuk setiap n\in\mathbb{N}“. Dengan melakukan langkah-langkah induksi matematika, kita dapat dengan mudah membuktikan pernyataan tersebut. Lengkapnya, teorema mengenai induksi matematika diberikan sebagai berikut:

Teorema (Induksi Matematika). Misalkan untuk setiap n\in\mathbb{N}, P(n) merupakan suatu pernyataan yang memenuhi dua kondisi berikut:

  1. P(1) benar;
  2. Untuk setiap n\in\mathbb{N}, jika P(n) benar maka P(n+1) juga benar.

Maka pernyataan P(n) benar untuk setiap n\in\mathbb{N}.

Langkah pertama biasa kita sebut sebagai langkah awal atau langkah basis, dan langkah kedua disebut sebagai langkah induksi. Nah, yang menjadi pernyataan kemudian adalah, apa yang menjamin bahwa teorema tersebut berlaku? Bagaimana kita bisa meyakini bahwa suatu pernyataan matematika dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika? Ternyata Prinsip Terurut Rapi (Well-Ordering Principle) menjadi jawaban atas semua pertanyaan-pertanyaan ini!

Prinsip Terurut Rapi berkata bahwa,

“Jika S merupakan himpunan bagian dari bilangan asli yang tak kosong, maka S memiliki elemen terkecil”

Prinsip tersebut menjamin bahwa setiap himpunan bagian dari bilangan asli yang tak kosong akan selalu memiliki elemen terkecil di dalamnya. Seperti himpunan S=\left\{1^{2},2^{2},3^{2},\cdots, n^{2}\right\}, yang mana merupakan himpunan bagian dari \mathbb{N} dan memiliki elemen terkecil, yaitu 1^{2}. Nah, Prinsip Terurut Rapi ekuivalen dengan Teorema Induksi Matematika. Artinya, kita dapat membuktikan Teorema Induksi Matematika jika Prinsip Terurut Rapi terpenuhi, begitu pun sebaliknya. Sekarang kita akan coba buktikan Teorema Induksi Matematika berdasarkan Prinsip Terurut Rapi.

Bukti Teorema Induksi Matematika:

Dengan menggunakan kontradiksi, asumsikan bahwa Teorema Induksi Matematika tersebut tidak benar. Yakni untuk pernyataan P(n) yang memenuhi kedua kondisi tersebut, maka P(n) tidak berlaku benar untuk setiap n\in\mathbb{N}, dalam arti jika kita mendefinisikan himpunan S=\left\{n\in\mathbb{N}: P(n) =salah\right\}, maka S adalah himpunan tak kosong. Karena S bukan himpunan kosong, maka menurut Prinsip Terurut Rapi, S memiliki elemen terkecil; katakanlah x\in S.

Karena S \subseteq\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}, maka x\geq 1 (mengapa? sebab bilangan terkecil dari himpunan bilangan asli adalah 1, dan karena S\subseteq\mathbb{N}, maka pastilah elemen terkecil di S sama dengan atau lebih besar dari 1). Nah menurut hipotesis kita ketahui bahwa P(1) benar, artinya x=1 tidak berada dalam himpunan S. Jadi dapat dituliskan x\neq 1, sehingga kita punya ketaksamaan x-1>0. Karenanya x-1 masih termuat di dalam \mathbb{N}. Kita dapat lihat bahwa x-1<x. Karena x elemen terkecil dari S, maka x-1 tidak termuat di dalam S, yang artinya P(x-1) merupakan pernyataan yang benar. Sekarang kita gunakan hipotesis kedua, karena n=x-1 benar, maka n+1=x juga benar, yakni pernyataan P(x)=P(n+1) bernilai benar. Akibatnya x\notin S. Terjadi kontradiksi. Jadi mestilah teorema Induksi Matematika tersebut benar.

Hmm.. cukup memusingkan juga ya buktinya? Namun jika dipahami dengan perlahan, bukti ini cukup mudah dan menarik, kok. Jadi prinsip terurut rapi menjamin bahwa induksi matematika ini berlaku, sehingga dapat kita gunakan untuk membuktikan suatu pernyataan matematika dengan apik.


Sumber Pustaka

Wade, William R. (2010). Introduction to Analysis; 4th Edition. Pearson Education.

Sumber Gambar

Domino [http://everythingcomputerscience.com/discrete_mathematics/Proof_by_Induction.html]

About Arini Soesatyo Putriclever

Math Addict || Freelance Illustrator || Traveller || Blogger || Hijab Cosplayer || Anime Lover

Follow Me

Leave a reply