Kenapa Luas Segitiga 1/2 Kali Alas dan Tingginya? Kalkulus pun Ikut Menjawab

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Kenapa Luas Segitiga 1/2 Kali Alas dan Tingginya? Kalkulus pun Ikut Menjawab

Kenapa luas segitiga $\frac{1}{2}\times alas\times tinggi$ ? Rumus luas bangun datar ini begitu sederhana dan mudah diingat, tapi tahukah teman-teman darimana datangnya rumus tersebut? ternyata gampang banget untuk kita buktikan!

Cara pertama, kita akan buktikan dengan menggunakan geometri. Perhatikan dua segi empat dengan lebar yang sama pada gambar berikut:

Pada segi empat pertama dan kedua, kita bisa lihat bahwa daerah yang diarsir berwarna merah luasnya 1/2 dari luas segi empat, begitu pun luas dari daerah yang tidak diarsir (warna putih). Sekarang kita gabungkan kedua segi empat tersebut menjadi

Beri simbol $a$ untuk menotasikan panjang dari segi empat, dan $t$ untuk menotasikan lebarnya. Jadi luas segi empat tersebut adalah $L\square=at$ (rumus luas segi empat sudah pernah dibahas di sini). Kita dapat lihat daerah berwarna merah luasnya 1/2 dari luas segi empat, dan daerah berwarna putih juga luasnya 1/2 dari luas segi empat, jadi dapat dituliskan

Luas daerah berwarna putih = Luas segitiga = 1/2 Luas segi empat = $1/2at \blacksquare$

Tadaaa~ terbukti deh. Tapi rasanya enggak seru ya membuktikan rumus luas bangun datar kalau enggak pakai kalkulus. Nah bagaimana kalkulus menjawab luas segitiga adalah $1/2at$ ?

Pertama-tama, pada koordinat Kartesius kita gambarkan dua garis lurus $y_{1}$ dan $y_{2}$ yang saling berpotongan,

Misalkan $m_{1}$ dan $m_{2}$ berturut-turut merupakan kemiringan dari garis $y_{1}$ dan $y_{2}$ . Selanjutnya kita cari persamaan garis dari $y_{1}$ dan $y_{2}$ .

Persamaan garis untuk $y_{1}$ : Karena garis tersebut melewati titik asal, maka bentuk persamaannya:

$y_{1}=m_{1}x=\frac{t-0}{c-0}x=\frac{t}{c}x$

Persamaan garis untuk $y_{2}$ : Karena pada sumbu-x garis tersebut bergeser sejauh $a$ dari titik asal, maka bentuk persamaannya:

$y_{2}=m_{2}(x-a)=\frac{t-0}{c-a}(x-a)=\frac{t}{c-a}(x-a)$

Sehingga kita punya persamaan garis

$y_{1}=f(x)=\frac{t}{c}x$ dan $y_{2}=g(x)=\frac{t}{c-a}(x-a)$

Tujuan kita sekarang adalah mencari luas segitiga yang panjang alasnya adalah $a$ , tingginya $t$ , dan titik-titik sudutnya $(0,0), (c,t), (a,0)$ . Permasalahan ini setara dengan mencari luas daerah yang dibatasi oleh garis $y_{1}, y_{2}$ , dan sumbu-x. Berbicara tentang luas di dalam koordinat Kartesius, maka kita berbicara tentang integral. Nah untuk luas segitiga pada gambar, kita dapat susun integralnya menjadi

$L\triangle = \int_{0}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{a} g(x)dx=\int_{0}^{c} \frac{t}{c}x dx+\int_{c}^{a} \frac{t}{c-a}(x-a) dx$

Kemudian kita selesaikan integral tersebut

$\int_{0}^{c} \frac{t}{c}x dx+\int_{c}^{a} \frac{t}{c-a}(x-a) dx=\frac{t}{c}(\frac{x^{2}}{2}|\begin{matrix} c\\0\end{matrix})+\frac{t}{c-a}(\frac{x^{2}}{2}-ax|\begin{matrix} a\\c\end{matrix})$

$=\frac{t}{c}\frac{c^{2}}{2}+\frac{t}{c-a}(\frac{a^{2}}{2}-a^{2}-\frac{c^{2}}{2}+ac)$

$=\frac{ct}{2}+\frac{t}{c-a}(\frac{a^{2}-c^{2}}{2}+ac-a^{2})$

$=\frac{ct}{2}-\frac{t(a+c)(c-a)}{2(c-a)}+\frac{at(c-a)}{c-a}$

$=\frac{ct-at-ct+2at}{2}$

$=\frac{1}{2}at \blacksquare$ .

Yeay~ Kalkulus pun membuktikan bahwa luas segitiga adalah $\frac{1}{2}at$ . Walaupun cukup panjang, namun pembuktian rumus apapun akan terasa sangat seksi jika dibuktikan dengan kalkulus, ya kan?

Comments ( 2 )

Aviv Fitroh Sarmada
April 24, 2018 at 6:30 pm


Kenapa luas jajar genjang itu alas kali tinggi, bukan alas kali sisi miring yang ketika kuluruskan lebarnya sama dengan persegi saat aku membuat replika barang korek api ?
Riad Taufik Lazwardi excellent
April 25, 2018 at 11:46 am


Hai Aviv…
Apa kabar?
Pertanyaan yang bagus. Saya senang menjawabnya.

1. Untuk kasus persegi yang diubah ke jajar genjang, kamu bisa menghitung luas jajar genjang dengan cara alas kali sisi miring jika panjang diagonalnya sama besar.
2. Tapi untuk kasus lainnya tidak bisa. Pembuktian kenapa ngitung luas jajar genjang itu alas kali tinggi karena
luas jajar genjang = luas persegi panjang jika “segitiga pada salah satu sisinya dipindahin ke sisi lainnya.” Kamu bisa searching.
3. Saya akan membuat tulisan baru yang akan diupload paling lambat besok tentang topik ini.

Semoga membantu.