Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Add question

Login

Register Now

Your data is secured. So, please complete the form.

Keberadaan Bilangan Irasional dan Kematian Hippasus

Matematika merupakan ilmu eksak yang akan terus berkembang dan menghasilkan sesuatu yang baru di setiap masanya. Di dalam perkembangannya sendiri, perubahan pemikiran ilmiah tidak selalu diterima karena bertentangan dengan kepercayaan populer masyarakat kala itu. Kejadian seperti ini dialami oleh Hippasus, seorang murid Pythagoras, yang telah mengubah sejarah matematika karena telah berhasil menunjukkan keberadaan bilangan irasional. Akan tetapi penemuannya tersebut harus dibalas dengan nyawanya sendiri. Alasannya sederhana, karena eksistensi bilangan irasional bertentangan dengan kepercayaan para pengikut Pythagoras saat itu.

Hippasus

Sekitar abad ke-5 SM, kelompok filsuf tradisionalis memercayai bahwa setiap bilangan dapat dituliskan sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat lainnya yang tidak memiliki pembagi yang sama selain 1 (artinya, kedua bilangan tersebut saling relatif prima). Semisal bilangan 25 dapat dituliskan menjadi \frac{25}{1}, dan bilangan 0,5 dapat dituliskan menjadi \frac{1}{2}. Bilangan-bilangan ini dikenal sebagai bilangan rasional.

Berbeda halnya dengan Hippasus. Saat ia bekerja pada teorema Pythagoras (teorema yang dicetuskan oleh gurunya sendiri), ia menemukan sesuatu yang janggal saat berhadapan dengan sebuah segitiga siku-siku dengan panjang alas dan tinggi sebesar 1 satuan.

Panjang sisi miring yang ia dapatkan adalah sebesar \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}. Akan tetapi ini menimbulkan pertanyaan, sebab betapapun kerasnya ia mencoba menyatakan \sqrt{2} sebagai perbandingan dua bilangan bulat, namun hasilnya tetap gagal. Alih-alih menyerah, ia mulai mencoba membuktikan keirasionalan dari \sqrt{2} dengan menggunakan kontradiksi.

Pertama-tama ia mengandaikan bahwa \sqrt{2} merupakan bilangan rasional. Artinya, \sqrt{2} dapat dituliskan sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat, katakanlah \frac{p}{q}, dituliskan

\sqrt{2}=\frac{p}{q}

di mana p dan q relatif prima. Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh

2=\frac{p^{2}}{q^{2}}

2q^{2}=p^{2}

Karena 2q^{2} merupakan bilangan genap, maka p^{2} juga merupakan bilangan genap. Karena p^{2} genap, maka pastilah p juga genap, sehingga dapat dituliskan sebagai p=2r. Dari sini kita punya 2q^{2}=4r^{2}, atau jika disederhanakan kembali menjadi q^{2}=2r^{2}. Karena 2r^{2} merupakan bilangan genap, maka q^{2} juga bilangan genap, begitupun dengan q. Artinya baik p maupun q keduanya merupakan bilangan genap. Tetapi dua bilangan genap tidak mungkin saling relatif prima. Terjadi kontradiksi, sehingga mestilah \sqrt{2} bukan merupakan bilangan rasional.

Pythagoras tidak dapat membantah pembuktian Hippasus ini, namun keberadaan bilangan irasional bertentangan dengan filosofi yang dianut olehnya. Hingga pada akhirnya menimbulkan kecaman dari para pengikut Pythagoras, khususnya filsuf tradisionalis yang sangat fanatik terhadap kepercayaannya. Mereka merasa penemuan Hippasus telah mengejek hukum mutlak bahwa semua bilangan adalah bilangan rasional. Hasilnya, Hippasus dikutuk mati oleh kaum ini dan dilabeli “pembawa ajaran sesat”.

Sumber : nytimes.com

Banyak spekulasi yang hadir terkait kematian Hippasus. Salah satu cerita yang paling terkenal adalah para pengikut Pythagoras menenggelamkan Hippasus ke laut saat melakukan pelayaran di samudra, kemudian mereka bersumpah untuk menjaga dan merahasiakan keberadaan bilangan irasional tersebut.

Jadikan sejarah sebagai pelajaran


Sumber Pustaka

History of Irrational Numbers. Brilliant.org. Diakses 21 Juli 2018 [https://brilliant.org/wiki/history-of-irrational-numbers/]

Sumber Gambar

Hippasus [https://en.wikipedia.org/wiki/Hippasus]

About Arini Soesatyo Putriclever

Math Addict || Freelance Illustrator || Traveller || Blogger || Hijab Cosplayer || Anime Lover

Follow Me

Comments ( 3 )

  1. M. Nayith Baihaqy Al-Zamzami
    December 6, 2018 at 10:01 pm

    Menurut pembahasan diatas, bahwasanya Hippasus mati dibunuh oleh sekelompok pengikut Pytagoras yg sangat fanatik dengan kepercayaannya, sampai2 setelah mereka membunuh Hippasus, mereka merahasiakan gagasan yg diungkapkan oleh Hippasus yakni Bilangan Irasional. Pertanyaannya, kenapa sekarang Bilangan Irasional sudah resmi masuk kedalam ilmu matematika ?

  2. pada bagian ini…Artinya baik p maupun q keduanya merupakan bilangan genap. Tetapi dua bilangan genap tidak mungkin saling relatif prima….ga paham eh mba…maklum fakir ilmu matematika…tx

    • Hai Subekti… Terima kasih telah mampir di web kami.
      Pertanyaan maupun komentar sangat kami tunggu agar konten kami terus memberikan manfaat dan mudah dipahami.

      Saya akan coba jelaskan walaupun mungkin bisa jadi tidak membuat Subekti langsung paham karena materi lengkapnya di bahas di mata kuliah analisis riil/teori bilangan/matematika diskrit.
      Pembuktian di atas memang sedikit membuat kita pusing. No problem, saya percaya Subekti nanti akan paham. Tetap semangat belajar dan bertanya yaa…Dari pertanyaan di atas saya asumsikan Subekti telah paham bahwa p genap dan q genap.

      Jika bilangan genap bisa direpresentasikan dengan 2*n dengan n bilangan bulat. Maka kita bisa misalkan bilangan genap yang pertama sebagai 2n dan bilangan genap yang kedua sebagai 2m. Keduanya minimal mempunyai faktor persekutuan yang sama yaitu 2. Betul kan?

      Contoh 10 dan 20. 10 mempunyai faktor : 1,2,5,10. 20 mempunyai faktor : 1,2,4,5,10,20.
      Keduanya mempunyai minimal faktor persekutuan yang sama yaitu 2.

      Nah, Dua bilangan, dikatakan relatif prima jika kedua bilangan tersebut tidak mempunyai faktor persekutuan positif kecuali 1.
      Jadi, dua bilangan genap tidak mungkin relatif prima.

      Cmiiw. Tx

Leave a reply