Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Send Message

Add post

Add question

You must login to ask question.

Jika dan hanya jika dan Ekuivalen

Waktu dua implikasi p \Rightarrow q dan q \Rightarrow p terpenuhi, hal ini bisa diekspresikan dengan:

    \[p\Leftrightarrow q\]

.
Formula di atas dibaca ”p if and only if q” atau ”q if and only if p”, dan kadang-kadang
diekspresikan dengan ”p iff q” (”iff” bukan salah cetak, bedakan ini dengan
”if”). Dalam bahasa Indonesia ini diekspresikan dengan ”p jika dan hanya jika q
atau ”q jika dan hanya jika p”.

Table 1.26: truth table p \Rightarrow q

Karena syarat agar p \Leftrightarrow q terjadi adalah p \Rightarrow q, yg artinya case 3 tidak terjadi,
dan q \Rightarrow p yang artinya case 2 tidak terjadi, maka tabel di atas hanya menyisakan case
1 dan case 4. Bisa dilihat di sini bahwa syarat ini menyisakan kondisi di mana nilai p
selalu sama dengan nilai q, sehingga ekpresi p \Leftrightarrow q sama artinya dengan ekspresi
equivalency p \equiv q. Cepatnya, dengan mengatakan p \Leftrightarrow q kita mengatakan ”p
senilai dengan q”. Kalau bab-bab sebelumnya kita mendefinisikan ekuivalensi dua
proposisi dengan melihat sama/tidaknya truth table mereka, di sini kita mendefinisikan
ekuivalensi dengan lebih jelas.


e.q.1: p : x = 2, q : 2x = 4. Kita tahu bahwa p \Rightarrow q benar karena x = 2 menjadi
syarat cukup bagi 2x = 4 dan 2x = 4 adalah syarat perlu bagi x = 2.
Begitupun q \Rightarrow p karena 2x = 4 adalah syarat cukup bagi x = 2, sekaligus x = 2
adalah syarat perlu bagi 2x = 4. Sehingga di sini x = 2 \Leftrightarrow 2x = 4 berlaku.
Ini artinya, mengatakan x = 2 sama saja dengan mengatakan 2x = 4. Kedua persamaan
ini selalu bisa saling menggantikan (mensubstitusi).


e.g.2: p : x = 2, q : x^2 = 4. Kita tahu bahwa p \Rightarrow q benar. Tapi bagaimana dengan
q \Rightarrow p ? Ini tidak benar, karena x = 2 bukan syarat perlu untuk x^2 = 4
karena untuk menjadi x^2 = 4 tidak perlu terjadi x = 2 (x = −2 pun bisa menjadikan x^2 = 4). Sehingga kita tidak bisa menulis x = 2 \Leftrightarrow 2x = 4. Keduanya 2 persamaan
yang tidak mempunyai arti yang sama. Kita tidak bisa saling mensubstitusi
x = 2 dengan x^2 = 4. Dari sini, dalam bermatematika dan berlogika, pembaca harus
sangat berhati-hati dalam menulis tanda panah, karena itu ada artinya. Ini adalah
bagian dari ”tata bahasa” dari logika dan matematika. Seperti dalam bahasa, kesalahan
tata bahasa akan menyebabkan terjadinya kesalahan penyampaian informasi.


e.g.3: bagaimana denganp \Leftrightarrow q dimana p : manusia, q : mamalia ? Kita tahu
bahwa p \Rightarrow q berlaku, karena ”manusia” adalah syarat cukup dari ”mamalia”,
dan ”mamalia” adalah syarat perlu untuk menjadi ”manusia”. Tapi q \Rightarrow p
tidak benar, karena ”manusia” bukan syarat cukup untuk menjadi ”mamalia”.
Sehingga kita tidak bisa menulis p \Leftrightarrow q. Manusia dan mamalia bukan 2 hal yang
sama.


Review:
• sekali lagi tinjaulah pengertian tentang arti dari syarat cukup dan syarat perlu.
• apa arti dari ”iff” ?
• pikirkan beberapa contoh riil dimana p \Leftrightarrow q berlaku dan dimana p \Leftrightarrow q
tidak berlaku. Memikirkan contoh nyata adalah cara yang baik untuk menguji
pengertian kita tentang suatu teori. Biasakanlah melakukan hal ini.


Soal Latihan

  1. bisakah kita menulis x = 0 \Leftrightarrow sin(x) = 0 ? Jelaskan !
  2. bisakah kita menulis x = 1 \Leftrightarrow log(x) = 0 ? Jelaskan !
  3. bisakah kita menulis x = 0 \Leftrightarrow e^x = 1 ? Jelaskan !
  4. bisakah kita menulis: jumlah dua bilang ganjil \Leftrightarrow bilang genap ? Jelaskan.
  5. buktikan jika p \Leftrightarrow q, maka \neg p \equiv \neg q
  6. buktikan jika p \Rightarrow q dan q \Rightarrow r maka p \Rightarrow r. Ini inituitif dalam contoh sehari-hari.
    Misalnya, ”kalau hujan sekolah pulang cepat” dan ”waktu sekolah pulang cepat
    banyak murid main game di rumah”, maka ”waktu hujan banyak murid main
    game di rumah”. Ini adalah ”syllogism” yang akan diterangkan pada chapter
    berikut.