Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Login

Register Now

Jika π Bilangan Irasional, Mengapa dapat Dituliskan Sebagai Perbandingan Keliling dan Diameter Lingkaran?

Seperti yang kita ketahui, \pi merupakan konstanta yang diperoleh dari perbandingan keliling lingkaran (k) dengan panjang diameternya (d), dituliskan

\pi=\frac{k}{d}

Akan tetapi Heinrich Lambert telah membuktikan bahwa \pi merupakan bilangan irasional, yang artinya \pi tidak dapat dituliskan sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat, yakni \frac{p}{q}, q\neq 0. Kita pun mulai bertanya-tanya, jika \pi merupakan bilangan irasional, mengapa ia dapat dituliskan sebagai perbandingan dari kelling lingkaran dan diameternya? Hayoo, ada yang tahu kenapa?Jawabannya sederhana. Pertama, perlu diingat bahwa bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat, yakni \frac{p}{q}, q\neq 0. Selain itu disebut sebagai bilangan irasional. Nah, ketika kita membandingkan dua buah bilangan riil, maka hasilnya tidak selalu berupa bilangan rasional. Sama seperti halnya membandingkan keliling lingkaran dengan panjang diameternya, yakni \frac{k}{d}, yang menghasilkan bilangan irasional.

“Tapi kan, kalau keliling lingkarannya sebesar 22 satuan dan diameternya sebesar 7 satuan, maka hasil perbandingannya \frac{22}{7} merupakan bilangan rasional?”. Yup, memang menghasilkan bilangan rasional. Tapi apa memang ada lingkaran yang memiliki keliling 22 satuan dan diameternya 7 satuan? Jelas tidak ada!

Faktanya, keliling lingkaran akan selalu berupa bilangan irasional. Tetapi ketika mengukurnya di dunia nyata, yang kita dapatkan hanyalah berupa pendekatan bilangan rasionalnya saja, seperti 14,35 cm atau \frac{9}{15} cm.

Jadi meskipun nilai \pi merupakan hasil perbandingan dari keliling lingkaran dan diameternya, dituliskan \frac{k}{d}, namun hal ini tidak menunjukkan bahwa \pi merupakan bilangan rasional. Syarat agar \pi menjadi bilangan rasional adalah nilai k dan d keduanya harus merupakan bilangan bulat. Tapi nyatanya tidak ada satu pun lingkaran yang memenuhi syarat tersebut.

Perbandingan kata air dan tanah di dalam Al-Quran adalah 32 dengan 13. Secara proporsi tanah mempunyai 28,89% sedangkan air mempunyai 71,12 %. Ini menggambarkan proporsi yang akurat dari kondisi Bumi saat ini.


Sumber Gambar

Pi [https://www.123rf.com/photo_81521054_stock-vector-cartoon-image-of-pi-symbol.html]

About Arini Soesatyo Putriclever

Math Addict || Freelance Illustrator || Traveller || Blogger || Hijab Cosplayer || Anime Lover

Follow Me

Comments ( 3 )

  1. Jikalau a/b dgn a dan b anggota riil dan b tidak sama dengan nol adalah definisi bilangan rasional, bagaimana kita bisa menyatakan batasan definisi itu jikalau irasional juga a/b dengan salah satu a atau b irasional dengan mengambil contoh 22/7 ?
    Kita juga tahu bersama bahwa rasional dan irasional adalah dua buah himpunan yg saling lepas.

    • Halo Okta.
      Batasan definisi untuk bilangan rasional dan bilangan irasional sebenarnya sudah sangat jelas.
      Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat a dan b (ingat, bil. bulat, bukan bil. riil), dituliskan a/b, dengan b bukan nol. Selain itu dikatakan bilangan irasional. Contohnya √2. Meskipun √2 dapat dituliskan sebagai perbandingan dua bilangan a/b, yakni √2 = √2/1, namun nilai a di sana bukan merupakan bilangan bulat. Nah, syarat agar √2 menjadi bilangan rasional adalah dia dapat dituliskan menjadi a/b, dengan a dan b keduanya bilangan bulat. Tapi faktanya tidak ada bilangan bulat yang memenuhi syarat tersebut. Jadi √2 merupakan bilangan irasional.

      Lebih jelasnya dapat dilihat di dalam postingan: http://belajarkalkulus.com/keberadaan-bilangan-irasional-dan-kematian-hippasus/

      Salam.

    • Hai Okta, pertanyaan kamu keren.

      Saya akan mencoba menjawab.
      1. Terkait definisi. Sifat definisi itu mencakup semua, mengeluarkan yang bukan, singkat dan jelas (disetujui dan telah diuji oleh para pakar).
      2. Definisi bilangan irasional yang disepakati oleh para matematikawan adalah bilangan yang dapat dituliskan sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat a dan b (ingat, bil. bulat, bukan bil. riil), dituliskan a/b, dengan b bukan nol.
      3. Bilangan irasional = bilangan irasional/ bilangan rasional atau bilangan irasional = bilangan rasional/bilangan irasional (bilangan rasionalnya bukan nol, ya), menurut saya tidak cocok kalau dijadikan definisi maupun batasan definisi. Saya lebih setuju dimasukkan ke dalam sifat-sifat operasi pada bilangan irasional seperti halnya bilangan bulat + bilangan bulat = bilangan bulat (meski pendapat saya ini masih perlu dikaji lagi, menurut Kak Arini sih lebih tepatnya masukin ke teorema bukan ke sifat).
      4. Terkait pemilihan kalau pi= 22/7, saya kira ini sebuah kesalahan yang dimaklumi sampai tingkat SMA. Saya tak tahu juga kenapa di SD kita diajarkan kalau pi=22/7. Yang jelas pi adalah bilangan irasional yang merupakan perbadingan antara keliling dan jari-jari.
      5. Teorema-teorema terkait operasi pada bilangan irasional akan dibuktikan oleh Kak Arini di tulisan selanjutnya.

      Segitu dulu, mungkin jawabannya belum memuaskan. Saya harap Okta bisa kasih feedback atas jawaban kita di sini atau via komen/direct message/email. Ditunggu yak!

      Btw, kamu keren! semangat ya, belajarnya!Kamu punya potensi. Jangan lupa mampir lagi dalam bentuk apa pun. Kita senang dikunjungi dan ditanya karena kita juga butuh teman belajar.

Leave a reply