Jika π Bilangan Irasional, Mengapa dapat Dituliskan Sebagai Perbandingan Keliling dan Diameter Lingkaran?

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Jika π Bilangan Irasional, Mengapa dapat Dituliskan Sebagai Perbandingan Keliling dan Diameter Lingkaran?

Seperti yang kita ketahui, $\pi$ merupakan konstanta yang diperoleh dari perbandingan keliling lingkaran $(k)$ dengan panjang diameternya $(d)$ , dituliskan

$\pi=\frac{k}{d}$

Akan tetapi Heinrich Lambert telah membuktikan bahwa $\pi$ merupakan bilangan irasional, yang artinya $\pi$ tidak dapat dituliskan sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat, yakni $\frac{p}{q}, q\neq 0$ .

Sumber : finerartamerica.com

Kita pun mulai bertanya-tanya, jika $\pi$ merupakan bilangan irasional, mengapa ia dapat dituliskan sebagai perbandingan dari kelling lingkaran dan diameternya? Hayoo, ada yang tahu kenapa?

sumber : mathisfun.com

Jawabannya sederhana. Pertama, perlu diingat bahwa bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat, yakni $\frac{p}{q}, q\neq 0$ . Selain itu disebut sebagai bilangan irasional. Nah, ketika kita membandingkan dua buah bilangan riil, maka hasilnya tidak selalu berupa bilangan rasional. Sama seperti halnya membandingkan keliling lingkaran dengan panjang diameternya, yakni $\frac{k}{d}$ , yang menghasilkan bilangan irasional.

“Tapi kan, kalau keliling lingkarannya sebesar $22$ satuan dan diameternya sebesar $7$ satuan, maka hasil perbandingannya $\frac{22}{7}$ merupakan bilangan rasional?”. Yup, memang menghasilkan bilangan rasional. Tapi apa memang ada lingkaran yang memiliki keliling $22$ satuan dan diameternya $7$ satuan? Jelas tidak ada!

Faktanya, keliling lingkaran akan selalu berupa bilangan irasional. Tetapi ketika mengukurnya di dunia nyata, yang kita dapatkan hanyalah berupa pendekatan bilangan rasionalnya saja, seperti $14,35$ cm atau $\frac{9}{15}$ cm.

Jadi meskipun nilai $\pi$ merupakan hasil perbandingan dari keliling lingkaran dan diameternya, dituliskan $\frac{k}{d}$ , namun hal ini tidak menunjukkan bahwa $\pi$ merupakan bilangan rasional. Syarat agar $\pi$ menjadi bilangan rasional adalah nilai $k$ dan $d$ keduanya harus merupakan bilangan bulat. Tapi nyatanya tidak ada satu pun lingkaran yang memenuhi syarat tersebut.

Perbandingan kata air dan tanah di dalam Al-Quran adalah 32 dengan 13. Secara proporsi tanah mempunyai 28,89% sedangkan air mempunyai 71,12 %. Ini menggambarkan proporsi yang akurat dari kondisi Bumi saat ini.

Sumber Gambar

Pi [https://www.123rf.com/photo_81521054_stock-vector-cartoon-image-of-pi-symbol.html]

Comments ( 5 )

okta
July 25, 2018 at 5:06 am


Jikalau a/b dgn a dan b anggota riil dan b tidak sama dengan nol adalah definisi bilangan rasional, bagaimana kita bisa menyatakan batasan definisi itu jikalau irasional juga a/b dengan salah satu a atau b irasional dengan mengambil contoh 22/7 ?
Kita juga tahu bersama bahwa rasional dan irasional adalah dua buah himpunan yg saling lepas.
- Arini Soesatyo Putri brilliant
  July 25, 2018 at 9:26 am
  
  
  Halo Okta.
  Batasan definisi untuk bilangan rasional dan bilangan irasional sebenarnya sudah sangat jelas.
  Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat a dan b (ingat, bil. bulat, bukan bil. riil), dituliskan a/b, dengan b bukan nol. Selain itu dikatakan bilangan irasional. Contohnya √2. Meskipun √2 dapat dituliskan sebagai perbandingan dua bilangan a/b, yakni √2 = √2/1, namun nilai a di sana bukan merupakan bilangan bulat. Nah, syarat agar √2 menjadi bilangan rasional adalah dia dapat dituliskan menjadi a/b, dengan a dan b keduanya bilangan bulat. Tapi faktanya tidak ada bilangan bulat yang memenuhi syarat tersebut. Jadi √2 merupakan bilangan irasional.
  
  Lebih jelasnya dapat dilihat di dalam postingan: http://belajarkalkulus.com/keberadaan-bilangan-irasional-dan-kematian-hippasus/
  
  Salam.
- Riad Taufik Lazwardi excellent
  July 26, 2018 at 5:31 pm
  
  
  Hai Okta, pertanyaan kamu keren.
  
  Saya akan mencoba menjawab.
  1. Terkait definisi. Sifat definisi itu mencakup semua, mengeluarkan yang bukan, singkat dan jelas (disetujui dan telah diuji oleh para pakar).
  2. Definisi bilangan irasional yang disepakati oleh para matematikawan adalah bilangan yang dapat dituliskan sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat a dan b (ingat, bil. bulat, bukan bil. riil), dituliskan a/b, dengan b bukan nol.
  3. Bilangan irasional = bilangan irasional/ bilangan rasional atau bilangan irasional = bilangan rasional/bilangan irasional (bilangan rasionalnya bukan nol, ya), menurut saya tidak cocok kalau dijadikan definisi maupun batasan definisi. Saya lebih setuju dimasukkan ke dalam sifat-sifat operasi pada bilangan irasional seperti halnya bilangan bulat + bilangan bulat = bilangan bulat (meski pendapat saya ini masih perlu dikaji lagi, menurut Kak Arini sih lebih tepatnya masukin ke teorema bukan ke sifat).
  4. Terkait pemilihan kalau pi= 22/7, saya kira ini sebuah kesalahan yang dimaklumi sampai tingkat SMA. Saya tak tahu juga kenapa di SD kita diajarkan kalau pi=22/7. Yang jelas pi adalah bilangan irasional yang merupakan perbadingan antara keliling dan jari-jari.
  5. Teorema-teorema terkait operasi pada bilangan irasional akan dibuktikan oleh Kak Arini di tulisan selanjutnya.
  
  Segitu dulu, mungkin jawabannya belum memuaskan. Saya harap Okta bisa kasih feedback atas jawaban kita di sini atau via komen/direct message/email. Ditunggu yak!
  
  Btw, kamu keren! semangat ya, belajarnya!Kamu punya potensi. Jangan lupa mampir lagi dalam bentuk apa pun. Kita senang dikunjungi dan ditanya karena kita juga butuh teman belajar.
  - SUBEKTI
    July 6, 2019 at 12:53 am
    
    
    apakah tidak ada lingkaran yg perbandingan keliling dan diameternya keduanya merupakan perbandingan 2 bilangan bulat..
    - Riad Taufik Lazwardi excellent
      June 3, 2022 at 1:28 am
      
      
      Sampai saat ini, perhitungan bilangan pi menggunakan komputer tercanggih masih tidak berpola, yaitu 3,14 … Kita hanya tau batas atas dan bawah dari bilangan pi. Seandainya berpola, kita bisa melakukan manipulasi sedemikian sehingga bisa kita rubah ke bilangan rasional yang penyebut dan pembilangnya merupakan bilangan bulat. Jika ada seseorang yang menemukannya pada soal SD, tentu bukan itu yang dimaksud. Cobalah mulai dengan eksperimen misal kelilingnya 22 cm apakah diameternya 7cm ? Atau mulai dengan membuat lingkaran sebarang, lalu cari diameter dan kelilingnya secara manual. Atau coba cari luas sebuah lingkaran! Apakah kamu yakin luasnya akan diketahui dengan presisi? Kabari kami jika kamu menemukannya! Dan kami menunggu kabar baik tersebut!