Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Send Message

Add post

Add question

You must login to ask question.

Implikasi, Syarat Cukup dan Syarat Perlu

Seperti sudah diterangkan di atas bahwa (p \to q) adalah proposisi yang mempunyai
nilai benar (1) atau salah (0). Tapi ada situasi dimana (p \to q) ini adalah tautologi,
seperti ditunjukkan dengan tabel kebenaran di bawah, di mana case 3 yang menyebabkan
(p \to q) bernilai 0 tidak terjadi

Table 1.21: Truth table for implication

Situasi dimana (p \to q) adalah tautologi, dilambangkan dengan
(p \to q)\equiv 1
atau
(p \Rightarrow q)

dan dibaca ”p berimplikasi q”.
Hubungan p dan q semacam ini disebut implication (implikasi) dan dapat digambarkan
dengan diagram di bawah. Bisa dilihat di sini bahwa case 3 di mana satu titik
berada dalam p tapi di luar q tidak dapat terjadi di sini. Bandingkan dengan diagram
dihalaman sebelumnya (lihat subbab compound dan bagiannya), untuk mengerti beda p \to q
dan p \Rightarrow q

Figure 1.3: Venn Diagram for Implication

Catatan: Perlu diketahui kalau kebanyakan buku matematika tidak membedakan
antara \to dan \Rightarrow dan mengartikan (p\to q) sebagai (p\Rightarrow q). Tapi di page ini keduanya
dibedakan untuk mempermudah pembaca yang baru memulai belajar tentang logika
matematika.
Ketika (p\Rightarrow q) terpenuhi, p disebut sufficient condition (syarat cukup) untuk q,
dan q disebut necessary condition (syarat perlu) untuk p. Kedua syarat ini perlu
dimengerti dan bukan dihapal. Beda kedua syarat ini bisa diterangkan sebagai berikut.

  1. Syarat Cukup dari tabel dibawah, ketika (p\Rightarrow q) terpenuhi, agar q terpenuhi
    (nilainya benar atau 1, lihat kotak hijau terbawah dalam tabel dibawah),
    sudah cukup (sufficient) kalau p terpenuhi (nilainya 1) (lihat kotak kuning),
    dikatakan ”cukup” karena p tidak harus bernilai 1 agar q bernilai 1 (lihat kotak
    abu-abu).
Table 1.22: p \Rightarrow q (sufficient condition)
  1. Syarat Perlu, dari tabel dibawah, waktu (p \Rightarrow q) terpenuhi, agar p bernilai
    1 (lihat kotak hijau), q harus bernilai 1 (lihat kotak kuning). Di tabel ini tidak
    ada baris yang menyandingkan p = 1 dengan q = 0 .
Table 1.23: p \Rightarrow q (necessary condition)

Untuk memperjelas hubungan antara syarat cukup dan syarat perlu, pelajari contohcontoh
dibawah ini.
e.g. 1: (x = 2) \Rightarrow (x^2 = 4)
Di sini, x = 2 adalah sufficient condition (syarat cukup) untuk x^2 = 4. Artinya, agar
x^2 = 4 sudah cukup kalau x = 2, tapi tidak mutlak (contohnya, x = −2 pun bisa
memenuhi x^2 = 4). Sedangkan x^2 = 4 adalah necessary condition (syarat perlu) agar
x = 2, karena tidak ada nilai dari x^2 selain 4 yang dapat menjadikan x = 2.


e.g. 2: Waktu proposisi: ”kalau hujan, sekolah pulang awal” adalah sebuah tautology,
”hujan” adalah syarat cukup agar ”sekolah pulang awal”, artinya agar ”sekolah
pulang awal” hujan tidak mutlak terjadi, tapi terjadinya hujan sudah cukup untuk
membuat ”sekolah pulang awal”. Sebaliknya, ”sekolah pulang awal” adalah syarat
perlu untuk terjadinya ”hujan”. Sampai di sini pasti banyak pembaca yang bingung
karena sepintas dipulangkannya sekolah lebih cepat dari biasa akan mendatangkan hujan
(bagaikan ilmu klenik). Tapi ingat yang diterangkan di sini adalah struktur logika
dan bukan hubungan sebab-akibat fisika. Artinya, kebenaran proposisi ”kalau hujan,
sekolah pulang awal” membawa implikasi logis bahwa kejadian ”hujan” harus selalu
disandingkan dengan kejadian ”sekolah pulang awal”. Cepatnya, kalau proposisi ini
benar, tidak ada kasus dimana turun hujan tetapi sekolah tidak pulang awal. Sekali lagi
ini tidak berarti bahwa tindakan memulangakn murid lebih awal akan mendatangkan
hujan. Bedakan antara struktur logika dan hubungan sebab-akibat. Kegagalan untuk
membedakan kedua hal ini akan mengakibatkan kesalahan logika yang diteruskan dengan
ketidakmampuan berargumen dengan logis.


e.g. 3: buktikan bahwa (p \wedge q) \to p. Ini sangat intuitif, misalnya p: saya makan
sate, q: saya makan soto maka tentu proposisi: ”kalau saya makan sate dan soto
maka saya makan sate” selalu benar. Tapi bukti matematika atau logika tidak bisa
dilakukan dengan mengatakan ”itu kan intuitive” atau ”jelas begitu”. Itu bukan bukti
tapi perasaan, dan perasaan dan logika tidak selalu seiring. Karena itu harus ada bukti
yang definitif secara logika. Sesuai definisi dari operasi \Rightarrow, ini bisa dibuktikan dengan
menunjukkan bahwa (p \wedge q) \to p adalah tautologi dengan truth table di bawah.
Dapat dilihat dari tabel di atas bahwa (p \wedge q) \to p selalu bernilai 1 (tautologi)
sehingga bisa kita ekspresikan dengan (p \wedge q) \Rightarrow p.

Table 1.24: truth table (p \wedge q) \to p

Jadi disini ”makan sate dan soto” adalah syarat cukup untuk ”makan sate”. Hubungan
ini jelas karena sudah ”cukup” bagi kita kalau kita untuk makan kedua-duanya,
agar terjadinya salah satunya terpenuhi. Tapi ”makan sate” adalah syarat perlu bagi
terjadinya ”makan sate dan soto”. Tidak bisa tidak, ”makan sate” perlu terjadi agar
”makan sate dan soto” terjadi.
Tentu saja setelah kita terbiasa dengan manipulasi formula logika, kita ini dapat
dibuktikan sebagai berikut.
(p \wedge q) \to p &\equiv& \neg (p \wedge q) \vee p\\&\equiv& \neg p \wedge \neg q \wedge p\\&\equiv& (\neg p \wedge p) \wedge \neg q\\&\equiv& 1 \wedge \neg q\\&\equiv& 1
Setiap langkah hitung di atas sudah dibuktikan di subsection-subsection sebelumnya,
sehingga tidak ada yang perlu dihapal di sini. Sekali lagi jangan menghapal tapi
mengertilah. Menghapal tidak membuat orang untuk mengerti,
Tentu saja (p \wedge q) \Rightarrow p juga berlaku. Buktikanlah !


e.g. 4: apakah (p \vee q) \Rightarrow p ? Secara intuitif tidak. Karena ”saya makan sate atau
soto” tidak berarti bahwa saya memakan keduanya, cukup salah satunya, sehingga
proposisi ”kalau saya makan sate atau soto maka saya makan sate” tidak selalu benar
(bukan tautology), sehingga kita tidak dapat menulis (p \vee q) \Rightarrow p. Tapi sekali lagi, ini
perlu dibuktikan secara definitif.

Table 1.25: truth table (p \vee q) \to p

Dari tabel di atas jelas bahwa (p \vee q) \to p tidak selalu bernilai satu (bukan tautologi)
sehingga kita tidak bisa menulis (p \vee q) \Rightarrow p. Hal ini juga bisa dibuktikan dengan
manipulasi formula dibawah.
(p \vee q) \to p &\equiv& \neg (p \vee q) \vee p\\&\equiv&(\neg p \wedge \neg q) \vee p\\&\equiv& (\neg p \vee p) \wedge (\neg q \vee p)\\&\equiv& 1 \wedge (\neg q \vee p)\\&\equiv& (\neg q \vee p)
Kita tahu bahwa (\neg q \vee p) tidak selalu bernilai 1, sehingga kita tidak dapat menulis
(p\vee q) \Rightarrow p. Artinya ”makan sate atau soto” bukan syarat cukup untuk ”makan sate”,
dan ”makan sate” bukan syarat perlu untuk ”makan sate atau soto”.
Review:
• arti dari conditional statement
• arti dari converse, inverse dan contrapositive
• mengapa p \to q \equiv (\neg p \vee q) ? dan contohnya dalam kehidupan sehari-hari
• mengapa p \to q \equiv (\neg q \to \neg p) ? dan contohnya dalam kehidupan sehari-hari
• beda antara p \to q dan p \Rightarrow q.
• arti syarat cukup, syarat perlu dan bedanya.


Soal Latihan
Buktikan formula di bawah ini (no. 1 – 8).

  1. p \Rightarrow (p \vee q)
  2. \neg((p \wedge q) \to r) \equiv p \wedge q \wedge \neg r
  3. \neg (p \to (q \vee r)) \equiv p \wedge \neg q \wedge \neg r
  4. (p \wedge q) \to r \equiv (p \to r) \vee (q \to r)
  5. (p \vee q) \to r \equiv (p \to r) \wedge (q \to r)
  6. (p \wedge q) \to (p \to q) adalah tautologi
  7. (p \vee q) \to (p \to q) ≡ ¬p \vee q
  8. q \to (p \to q) adalah tautologi
  9. ekpresikan dengan jelas negasi dari proposisi: ”pada hari libur saya pergi ke mall
    atau istirahat di rumah”.
  10. expresikan dengan jelas negasi dari proposisi: ”kalau kita berolah raga dan makandengan baik, kita akan sehat”.
  11. expresikan dengan jelas negasi dari proposisi: ”pada hari Senin dan Selasa kitabelajar fisika atau matematika”.
  12. proposisi (p \to q) \wedge (q \to p) ditulis dengan p \leftrightarrow q (atau q \leftrightarrow p). Buat truth table untuk proposisi p \leftrightarrow q dan perhatikan kapan proposisi ini benar dan kapan salah.