Fungsi Invers

Send Message

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Fungsi Invers

Invers adalah kebalikan.

Jadi, fungsi-invers dari f, adalah fungsi kebalikan dari f.

“Jika f memetakan a ke b, maka b harus dipetakan kembali oleh f invers hanya ke a. “

f invers biasa ditulis $f^{-1}$ .

Contoh : $f(1)=2$ , maka $f^{-1}(2)=1$

Syarat Fungsi Mempunyai Invers

“Syarat fungsi mempunyai invers adalah jika dan hanya jika fungsinya berkorespondensi satu-satu.”

Berkorespondensi satu-satu artinya Jika f memetakan a ke b, maka b harus dipetakan kembali oleh f invers hanya ke a. .

Contoh fungsi yang tidak mempunyai invers :

Fungsi kuadrat di atas tidak mempunyai invers karena 1 nilai y mempunyai 2 nilai x (tidak berkorespondensi satu-satu)

Contoh fungsi yang mempunyai invers :

Fungsi linier di atas mempunyai invers karena 1 nilai y mempunyai 1 nilai x begitupun sebaliknya.

Untuk mengecek suatu fungsi berkorespondensi satu-satu, kita bisa buat garis vertikal dan horizontal sembarang, kemudian kita cek titik potongnya.

“Jika titik potong garis horizontal & vertikal dengan kurva hanya satu, maka fungsi tersebut mempunyai invers”

Sifat fungsi invers :

$f(a)=b \Longleftrightarrow f^{-1}(b)=a$

“a dipetakan oleh f ke b, maka b haruslah dipetakan kembali oleh f invers ke hanya a”

Mencari Invers Dari Suatu Fungsi f(x)=ax+b Dengan Menukar Domain dan Kodomain

Dari ilustrasi di atas, kita akan coba mencari fungsi invers dengan strategi berikut :

1.Misalkan f(x)=y

2.Buat yang awalnya y terpisah sendiri menjadi x yang terpisah sendiri.

3.Tukar domain dengan kodomain, yaitu : Ganti y dengan x dan ganti x dengan y

Contoh Soal : Cari fungsi invers dari f(x)=ax+b !

Jawab

1.Rubah f(x) dengan y agar penulisan lebih simpel.

$f(x)=ax+b$

$y=ax+b$

2. Buat x terpisah sendiri

$y-b=ax$

$\frac{y-b}{a}=x$

3. Tukar domain dengan kodomain. Ganti x dengan y, dan ganti y dengan x dari persamaan di atas,

$\frac{x-b}{a}=y$

Jadi, fungsi inversnya adalah

$\frac{x-b}{a}=y$

$y=\frac{x-b}{a}$

$f^{-1}(y)=\frac{y-b}{a}$

atau bisa ditulis juga dengan mengganti y dengan x seperti berikut :

$f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$

Tapi ingat, meski di dalam kurung $f^{-1}$ itu x, domain $f^{-1}$ tidak sama dengan domain $f$ .

Mencari Fungsi Invers Dengan Menggunakan Sifat Invers

Contoh Soal : Jika fungsi $f(x+1)=x^2+2x-1$ dan $f^{-1}(2a-1)=2$ . Cari nilai 4a!

Jawab

Gunakan Sifat Invers :

$f(a)=b \Longleftrightarrow f^{-1}(b)=a$

Karena

$f^{-1}(2a-1)=2$

Maka

$f(2)=2a-1$

Kita sekarang ingin mencari nilai a di atas, dengan menggunakan f(x+1) dengan cara mengganti x+1 dengan 2 :

$x+1 =2$

$x=2-1$

$x=1$

Dari langkah di atas, jika kita ingin mengganti x+1 dengan 2 maka x haruslah diganti dengan 1.

Sekarang ganti x+1 dengan 2, dan x dengan 1 pada $f(x+1)=x^2+2x-1$ :

$f(2)=1^2+2(1)-1$

$f(2)=1+2-1$

$f(2)=2$

Kita sekarang tau $f(2)=2$ namun yang ditanyakan adalah nilai a, maka substitusi ke $f(2)=2a-1$

$f(2)=2$

$f(2)=2a-1$

haruslah

$2=2a-1$

$3=2a$

$2a=3$

$a=\frac{3}{2}$

Jadi, 4a adalah 6

Note :

1.Pada soal ini nampak f(x+1) adalah fungsi kuadrat, namun kita tidak bisa langsung menyimpulkan bahwa f tidak mempunyai invers.

2.Idenya adalah : di dalam tanda kurung f harus dijadikan satu angka/simbol saja, misal pada soal ini x+1 diganti dengan 2 (atau kita anggap x+1 dan 2 adalah elemen yang sama), dengan catatan x nya juga harus ikut diganti.

Contoh Soal : Jika f dan g mempunyai invers, dan $f(x)=g(2+x)$ , carilah $f^{-1}(x)$ dalam bentuk $g^{-1}$ !

Jawab.

Karena f dan g adalah fungsi, yang mana setiap elemen di domainnya akan dipetakan ke tepat satu elemen di kodomain, maka kita bisa (dan harus berani) memisalkan

$f(x)=y$

Karena f(x)=g(2+x), maka haruslah

$g(2+x)=y$

Selanjutnya kita tinggal gunakan sifat fungsi invers $f(a)=b \Longleftrightarrow f^{-1}(b)=a$ pada $g(2+x)=y$ , kemudian substitusi x yang didapat ke $f^{-1}(y)=x$