Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Add question

Login

Register Now

Your data is secured. So, please complete the form.

Contoh Menaksir Proporsi Populasi

Masalah : Berapa persen masyarakat Indonesia yang memilih saya sebagai presiden ? Saya telah melakukan quick count kepada 1000 responden dan sebanyak 600 orang dipastikan memilih saya.

Look back : Untuk mengetahui apakah \frac{600}{1000} merupakan taksiran proporsi yang reliable, kita harus melakukan survey kepada 1000 responden (berulang kali pada 1000 responden yang berbeda) kemudian mengecek distribusinya. Singkat cerita, menurut teorema limit pusat taksiran \frac{600}{1000} adalah taksiran yang reliable.

Apakah proporsi yang memilih saya pada data sampel besarnya “sama atau tidak jauh beda” dengan proporsi yang memilih saya pada data populasi? Tentu kemungkinan besar tidak sama!!!

Solusi : Membuat confidence interval

Faktor- faktor yang mempengaruhi confidence interval adalah :

  • Jumlah sampel. Semakin banyak sampel maka sifat sampel mendekati sifat populasi
  • Teknik sampel. Jika ukuran sampel terbatas maka harus dipastikan sampel merepresentasikan populasi
  • Error. Hasil taksiran dari data sampel pasti mempunyai error karena menghitung dari sampel, bukan populasi.
  • Kepercayaan terhadap hasil.

Sumber : Slide player

Maksud gambar di atas adalah

1. p adalah proporsi populasi, pada kasus ini merupakan persentase yang memilih saya pada data populasi.

2. \^{p} merupakan penaksir proporsi populasi yang nilainya diperoleh dari menghitung proporsi dari data sampel.

3. Jika kita melakukan perhitungan \^{p} berulang kali maka kita dapat menggambar distribusi \^{p}. Menurut teorema limit pusat, maka \^{p} akan berdistribusi normal. (data yang berdistribusi normal itu kasarnya adalah data yang paling banyak muncul/rata-ratanya dapat dijadikan representasi dari data populasi)

4. Standar deviasi proporsi rumusnya \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.

5. Standar deviasi bisa kita pandang sebagai error penaksir \^{p} terhadap p.

6. Perhatikan bahwa rata-rata dari distribusi \^{p} adalah p.

Ingat : Error penaksir adalah standar deviasi dari data \^ {p}. Error penaksir (juga bisa  dipandang sebagai) berbanding lurus dengan variasi populasi dan berbanding terbalik dengan jumlah sampel.

Jika variasi data populasi kecil, maka kemungkinan variasi dari sampel juga kecil. Maka error penaksir juga kecil.

Jadi, kita dapat merekonstruksi confidence interval proporsi populasi sebagai berikut :

\hat {p}-Z*Error < p < \hat {p}+Z*Error

\^ {p}-Z*\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} < p < \^ {p}+Z*\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}

Z : besarnya kepercayaan kita terhadap hasil

\hat {p} : penaksir proporsi populasi =\frac{X}{n}=\frac{600}{1000}

p : proporsi populasi

Contoh Kasus

Gubernur Jawa Selatan Riad Taufik Lazwardi berencana mengikuti kontestasi pilpres 2024. Pada tahun 2019 timses melakukan survey dan diperoleh bahwa dari 1000 responden terdapat 600 org yang akan memilih. Tentukan confidence interval untuk proporsi yang memilih Riad Taufik Lazwardi jika kita ingin mempercayai terhadap hasil sebesar 95%?

\^ {p}-Z*Error < p < \^ {p}+Z*Error

\frac{600}{1000}-Z*Error <\textrm{ proporsi pemilih Riad }< \frac{600}{1000}+Z*Error

\frac{600}{1000}-Z*\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} <\textrm{ proporsi pemilih Riad }< \frac{600}{1000}+Z*\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}

\frac{600}{1000}-1.96*\frac{\sqrt{0.6(0.4)}}{\sqrt{1000}} <\textrm{ proporsi pemilih Riad }< \frac{600}{1000}+1.96*\frac{\sqrt{0.6(0.4)}}{\sqrt{1000}}

60\%-1.96*0.015<\textrm{ proporsi pemilih Riad }< 60\%+1.96*0.015

60\%-0.03<\textrm{ proporsi pemilih Riad }< 60\%+0.03

60\%-3\%<\textrm{ proporsi pemilih Riad }< 60\%+3\%

57\%<\textrm{ proporsi pemilih Riad }< 63\%

Jadi, dengan quick count yang saya lakukan maka saya percaya 95% bahwa pemilih saya berkisar 57%-63% dengan error sebesar 3%.

Catatan : Perhitungan di atas adalah contoh bagaimana cara menaksir parameter populasi dengan cara membuat confidence interval. Cara lain untuk menaksir parameter adalah dengan membuat hipotesis kemudian menguji hipotesis yang dibuat. Kita biasa menyebutnya uji hipotesis.

Kasus ini adalah kasus menaksir peluang p sukses pada data yang berdistribusi binomial. Dimana p adalah peluang seseorang yang memilih saya. Persentase, di mata kuliah statistika disebut proporsi. Artinya, kasus ini adalah kasus menaksir proporsi populasi dengan cara :

  1. Mengambil sampel
  2. Menghitung proporsi yang memilih saya pada data sampel kemudian membuat confidence interval yang diharapkan memuat proporsi populasi.

Pembahasan bagaimana memperoleh variasi populasi dari \frac{X}{n} dibahas di artikel selanjutnya.

(under revision)

Bacalah dengan nama TuhanMu


About Riad Taufik Lazwardiclever

Lecturer of Mathematics at 1. Kalbis Institute | Managed by Binus (2018-now) 2. Telkom University (2017-2018) 3. UIN Bandung (2015-2018)

Follow Me

Leave a reply