Bilangan Aljabar VS Transenden

Send Message

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Kita telah mengenal macam-macam bilangan, seperti bilangan real dan bilangan kompleks. Di dalam himpunan bilangan real, terdapat himpunan bagian bilangan lain seperti bilangan rasional dan irasional. Sekarang kita akan membahas kategori bilangan lain, yakni bilangan aljabar dan bilangan transenden.

Apa itu bilangan aljabar?

Bilangan aljabar merupakan akar-akar dari polinomial tak nol dengan koefisien-koefisiennya bilangan rasional. Yakni bilangan $x$ yang memenuhi

$a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} +...+ a_{n} x^{n} = 0$

dengan koefisien-koefisien $a_{0}, a_{1}, ..., a_{n}$ merupakan bilangan rasional. Contohnya, jika diberikan polinomial

$P(x) = x^{2}+2 x-15$

kita dapat lihat bahwa:

$P(x)$ merupakan polinomial tak nol
Koefisien-koefisiennya, yakni $1, 2$ dan $-15$ merupakan bilangan rasional
Nilai $x$ yang mengakibatkan $P(x)=0$ merupakan akar-akar dari $P(x)$
Nilai $x$ yang memenuhi $P(x)=0$ merupakan bilangan aljabar
Jadi akar-akar dari $P(x)$ , yakni $x=-5$ dan $x=3$ merupakan bilangan aljabar.

Himpunan bilangan aljabar dapat terhitung (cauntable) karena kita dapat menetapkan bilangan aljabar dengan cara 1-ke-1 dengan bilangan asli. Bilangan imajiner, seperti $i$ juga merupakan bilangan aljabar, sebab ia merupakan akar dari $x^{2}+1=0$ .

Selain Bilangan Aljabar = Bilangan Transenden

Simplenya, bilangan-bilangan selain bilangan aljabar kita katakan sebagai bilangan Transenden. Contohnya adalah: $e, \pi, e^{\pi}$ , konstanta Liouville ( $\sum_{n=1}^{\infty} 10^{-n!}$ ), bilangan Hilbert ( $2^{\sqrt{2}}$ ), dan lainnya.

Apakah $\sqrt{2}$ merupakan bilangan transenden?

Walaupun $\sqrt{2}$ merupakan bilangan irasional, akan tetapi nyatanya $\sqrt{2}$ merupakan solusi dari $x^{2}-2=0$ . Jadi $\sqrt{2}$ merupakan bilangan aljabar, bukan bilangan transenden.

Dapat kita simpulkan bahwa semua bilangan rasional merupakan bilangan aljabar, akan tetapi bilangan irasional dapat termasuk ke dalam bilangan aljabar, ataupun bilangan transenden.

Mudah bukan menemukan bilangan aljabar dan transenden? Sekarang coba analisa, apakah $i^{i}$ merupakan bilangan aljabar, atau bilangan transenden?

http://ragdoodles.com