Aritmatika Tak Terhingga

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Aritmatika Tak Terhingga

Sebelumnya pernah kita bahas bahwa tak terhingga ( $\infty$ ) bukanlah sebuah bilangan, melainkan suatu konsep abstrak untuk menunjukkan suatu objek yang lebih besar dari bilangan apapun.

Jika bilangan real pada umumnya berlaku aksioma penjumlahan dan perkalian di $\mathbb{R}$ , maka operasi yang sama tidak berlaku untuk $\infty$ .

Oleh karena itu kita membutuhkan operasi aritmatika khusus yang berlaku pada $\infty$ untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan seperti;

“Berapakah hasil dari $\infty +\infty$ ?

Apakah $\infty -\infty =0$ ?

Apa yang terjadi jika suatu bilangan riil dioperasikan dengan $\infty$ ?”, dan lain sebagainya.

Tak Hingga $\pm$ Suatu Bilangan Real = Tak hingga

Kita mulai kaji pertanyaan berikut: “Berapakah hasil dari $1+\infty$ ?”.

Tak hingga merupakan sesuatu yang sangat besar, tak terbatas, tak memiliki ujung dan tidak ada habisnya. Secara intuisi, ketika sesuatu yang tak ada habisnya dijumlahkan dengan 1, maka sesuatu tersebut masihlah tidak ada habisnya. Dalam hal ini kita katakan $\infty+1=\infty$ . Lebih umum lagi, untuk berapapun nilai $a\in\mathbb{R}$ , maka berlaku

$\infty+a=\infty$

Hal yang sama pun berlaku untuk operasi pengurangan, yaitu $\infty-a=\infty, \forall a\in\mathbb{R}$ .

Tak Hingga $+$ Tak Hingga = Tak hingga

Sekarang kita pilih sebarang bilangan real $a$ sehingga berlaku padanya

$a=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}<\frac{a}{2}+\infty<\infty+\infty$

jadi $\infty+\infty=\infty$ . Secara intuisi sendiri, ketika sesuatu yang tak terbatas dijumlahkan dengan sesuatu yang tak terbatas lagi, maka hasilnya pastilah tak terbatas, ya kan?

Lebih lanjut lagi, di bawah ini merupakan daftar lengkap sifat-sifat pada operasi aitmatika yang berlaku pada $\infty$ :

Sekarang perhatikan dengan seksama, di dalam tabel tersebut tidak kita dapati beberapa operasi berikut

$\infty-\infty, 1^{\infty}, \frac{\infty}{\infty}, \infty^{0}, 0\times\infty$

Bentuk-bentuk di atas dikenal sebagai bentuk tak tentu (indeterminate forms).

Kenapa dinamakan bentuk tak tentu?

Ya memang karena hasilnya tak menentu! Contohnya untuk operasi $\infty-\infty$ , banyak orang yang keliru menjawab $\infty-\infty=0$ .

Jawaban ini mungkin saja tepat namun mungkin juga tidak, sebab bisa jadi $\infty-\infty=1$ , atau $\infty-\infty=1.000.000$ , atau $\infty-\infty=\infty$ , yang mana memiliki hasil tidak menentu. Kok bisa gitu?

Jawabannya akan kita bahas di dalam materi Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar. (Jika teman-teman merupakan mahasiswa di fakultas Teknik ataupun MIPA, materi ini akan dipelajari di semester 2).

تعلم فإن العلم زين لأهله وفضل وعنوان لكل المحامد
وكن مستفيدا كل يوم زيادة من العلم واسبح في بحور الفوئد

Belajarlah, karena ilmu adalah perhiasan bagi pemiliknya, juga keutamaan dan alamat bagi setiap keterpujian. Pergunakanlah setiap hari dengan bertambah, dari ilmu dan berenanglah dalam lautan keutamaan.~Al-Zarnuji (Khurasan,Afghanistan)

Sumber Pustaka:

What is Infinity?. Mathisfun. DIakses 25 Mei 2018. [https://www.mathsisfun.com/numbers/infinity.html]

Sumber Gambar:

https://www.livescience.com/37077-infinity-existence-debate.html