Aplikasi Turunan dalam Masalah Optimisasi

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Aplikasi Turunan dalam Masalah Optimisasi – I

Pernah mendengar seseorang berbicara seperti ini enggak; “Gimana ya caranya supaya dengan modal seminim ini tapi bisa dapat keuntungan yang besar?”, atau, “Wadah seperti apa sih yang cukup kecil tapi bisa menampung seluruh bekal nasi kita?”. Jika teman-teman pernah mendengar atau bahkan mengalami masalah serupa dengan itu, berarti teman-teman sedang dihadapi dengan yang namanya masalah optimisasi!

Masalah optimisasi hadir untuk memperoleh keuntungan yang kita harapkan. Hasil yang optimal diperoleh ketika modal atau usaha yang minimal namun dapat mencapai keuntungan yang maksimal. Nah, pertanyaan kemudian adalah, bagaimana cara mendapatkan hasil yang optimal tersebut? Ternyata kalkulus di balik penyelesaian masalah optimisasi ini!

Operator di dalam kalkulus yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai minimum dan maksimum adalah turunan. Di samping dapat menentukan nilai minimum dan maksimum dari grafik suatu fungsi, ternyata turunan juga merupakan alat yang baik untuk menyelesaikan masalah optimisasi di dalam kehidupan sehari-hari. Enggak percaya? Yuk kita simak pembahasannya.

Menentukan Volume Maksimum Balok

Misalkan kita ingin membuat sebuah balok seperti pada gambar di bawah ini

Balok

dengan bahan dasar dari sebuah papan kayu. Bahan yang diberikan adalah selembar papan kayu dengan panjang dan lebarnya sebesar $30 cm$ . Kira-kira, bagaimana seharusnya kita memotong keempat pojok papan kayu tersebut agar balok yang dihasilkan mencapai volume paling besar?

Biasanya banyak yang kebingungan menjawab soal cerita seperti ini. Padahal penyelesaiannya cukup mudah jika kita tahu langkah pengerjaannya. Berikut jalan penyelesaian untuk memecahkan masalah optimisasi:

1. Membuat sebuah gambar terkait masalah yang diberikan, kemudian berikan variabel-variabel yang sesuai untuk besaran yang penting

Pertama-tama kita gambarkan terlebih dahulu selembar papan kayu dengan panjang dan lebarnya sebesar $30 cm$ .

balok 1

Setelah itu pada keempat pojoknya kita buat gambar segiempat yang sama. Misalkan panjang sisi pada segiempat ini kita wakilkan dengan variabel $x$ .

balok 2

Jadi daerah segiempat dengan panjang sisi $x$ ini nantinya akan kita potong.

2. Menuliskan rumus untuk fungsi $V$ yang ingin dimaksimumkan

Selanjutnya kita perlu membangun suatu fungsi $V$ yang akan dimaksimumkan. Wah, apa maksudnya ya? Karena yang diminta adalah menentukan volume maksimum balok, maka fungsi $V$ yang akan kita susun tidak lain adalah volume balok. Kita sudah mengetahui rumus untuk menentukan volume balok sebagai

$V=p.l.t$

dengan $p,l,t$ berturut-turut menunjukkan panjang, lebar, dan tinggi dari balok, Jadi sekarang kita hanya perlu mencari panjang, lebar, dan tinggi balok dari papan kayu yang telah kita gambar sebelumnya. Perhatikan gambar berikut:

balok 4.JPG

Jika daerah segiempat pada keempat pojok papan kayu kita potong, maka akan kita dapatkan panjang balok sebesar $p=30-2x$ , lebar balok sebesar $l=30-2x$ , dan tingginya sebesar $t=x$ . Jadi fungsi volume yang akan dimaksimumkan adalah

$V=p.l.t$

$V(x)=(30-2x)(30-2x)x$

$V(x)=4x^{3}-120x^{2}+900x$

3. Menentukan daerah asal dari fungsi yang akan dimaksimumkan

Agar fungsi yang telah kita susun dapat terdefinisi dengan baik, maka kita perlu menentukan daerah asal dari fungsinya. Maksud dari terdefinisi dengan baik itu bagaimana? Karena $V(x)$ menyatakan volume suatu balok, maka nilai dari volume tidak boleh negatif. Jadi mestilah $V(x)\geq 0$ , lebih lanjut dituliskan

$V(x)=4x^{3}-120x^{2}+900x\geq 0$

$\Rightarrow 4x(x-15)^{2}\geq 0$

Nilai $x$ yang memenuhi ketaksamaan di atas adalah $x\geq 0$ . Setelah itu kita pandang kembali panjang dari balok tersebut, yakni $p=30-2x$ . Karena panjang juga mestilah bernilai positif, maka

$p=30-2x\geq 0$

$\Rightarrow x\leq 15$

Jadi mestilah nilai $x$ berada di antara $0\leq x\leq 15$ agar fungsi $V(x)$ terdefinisi.

4. Menentukan titik kritis dari fungsi $V$

Setelah mengetahui daerah asal dari fungsi yang akan dimaksimumkan, selanjutnya kita tentukan titik kritis dari fungsi tersebut. Titik kritis terjadi pada tiga tempat, yakni titik ujung interval, titik stasioner, dan titik singular. Kita cek keberadaan titik kritis pada ketiga tempat tersebut.

Karena domain dari fungsi $V(x)$ adalah untuk setiap $x$ dalam selang $[0,15]$ , maka titik ujungnya adalah $x=0$ dan $x=15$ . Untuk menentukan titik stasioner, pandang turunan pertama dari $V(x)$ ketika $\frac{d}{dx}V(x)=0$ ,

$\frac{d}{dx}V(x)=12x^{2}-240x+900$

$0=12x^{2}-240x+900$

$0=x^{2}-20x+75$

$0=(x-5)(x-15)$

Jadi titik stasionernya adalah $x=5$ dan $x=15$ . Terakhir adalah titik singular. Karena $V(x)$ merupakan fungsi polinomial, maka tidak mungkin memiliki titik singular. Oleh karenanya titik kritis yang kita dapatkan adalah titik ujung interval ( $x=0$ dan $x=15$ ) serta titik stasioner $(x=5)$ .

5. Substitusikan titik-titik kritis ke dalam fungsi $V$ untuk menentukan nilai minimum dan maksimumnya

Langkah terakhir, kita substitusikkan nilai $x=0,5,15$ ke dalam fungsi $V(x)=4x^{3}-120x^{2}+900x$ , sehingga didapat

$V(0)=0$

$V(5)=2000$

$V(15)=0$

Jadi volume maksimum dari balok adalah sebesar $2000 cm^{3}$ . Volume maksimum ini dicapai ketika nilai $x=5$ . Artinya volume balok akan mencapai maksimum jika memiliki tinggi sebesar $t=x=5cm$ , panjangnya $p=30-2x=30-2(5)=20cm$ serta lebarnya $l=20cm$ .

Masih banyak masalah optimisasi yang dapat diselesaikan dengan menggunakan aplikasi turunan. Namun sepertinya tidak akan cukup jika dibahas di dalam satu artikel. Jadi untuk masalah optimisasi lainnya akan dibahas di dalam postingan yang lain ya!

Sumber Gambar

Rapat [https://www.123rf.com/photo_31993569_stock-vector-cartoon-meeting-or-conference-round-the-table.html]