Apa yang Terjadi Jika Roda Sepeda Kita Berbentuk Persegi?

Send Message

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Apa yang Terjadi Jika Roda Sepeda Kita Berbentuk Persegi?

Pernah ngebayangin enggak, gimana jadinya kalau roda sepeda berbentuk persegi? Apakah sepeda kita akan mudah bergerak? Jika dapat bergerak, di permukaan jalan yang seperti apa? Untuk menjawabnya, mari kita tinjau dari sudut pandang kalkulus.

Sumber: china-briefing.com

Jika mengendarai sepeda dengan roda berbentuk lingkaran, maka kita akan mengendarai sepeda tersebut dengan mulus, kenapa?Karena selama rodanya terus berputar, titik pusatnya bernilai tetap pada ketinggian yang konstan. Berbeda halnya jika berbentuk persegi. Ketika roda berbentuk persegi melewati permukaan yang datar, maka titik pusat akan ‘mengubah’ ketinggian rodanya.Karenanya, untuk mengendarai sepeda secara mulus serta mengimbangi perubahan ketinggian tersebut, maka permukaan jalannya tidak boleh rata. Serangkaian permukaan jalan yang tidak rata ini akan memudahkan roda berbentuk persegi melewati jalanan tersebut dengan mulus. Nah yang menjadi pertanyaan sekarang, harus berbentuk apa permukaan jalannya itu? Mari kita mendesain kriterianya:

Pertama, titik pusat roda harus tetap pada ketinggian yang konstan. Katakanlah tingginya adalah $d$ ;
Kedua, roda harus bersinggungan dengan permukaan jalan pada suatu titik persentuhan, misalnya $(x,y)$ ;
Ketiga, titik pusat roda harus tepat berada di atas titik persentuhan tadi;
Keempat, jarak sepanjang permukaan yang tidak rata harus sama dengan panjang salah satu sisi roda persegi.

Secara geometris, kita punya gambarannya sebagai berikutTujuan kita sekarang adalah mencari persamaan kurva yang merepresentasikan permukaan jalanan yang tidak rata untuk dilalui oleh roda persegi. Misalkan titik pusat dari roda persegi adalah $(x,d)$ , dan titik singgung antara roda dengan permukaan jalan adalah $(x,y)$ . Kita gambarkan segitiga siku-siku dengan $(x,d)$ dan $(x,y)$ merupakan titik ujungnya.Perhatikan bahwa $cos\theta = \frac{a}{d-y}$ , atau $a=(d-y)cos\theta$ . Sekarang tinjaudari sini diperoleh

$a=(d-y)cos\theta=(d-y)\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^{2}}}$

Selanjutnya selesaikan untuk $\frac{dy}{dx}$ ,

$\frac{dy}{dx}=\sqrt{(\frac{d-y}{a})^{2}-1}$ $(1)$

dengan melakukan pemisahan variabel, didapat

$\frac{1}{\sqrt{(\frac{d-y}{a})^{2}-1}}dy=dx$

Integrasikan kedua ruas

$\int\frac{1}{\sqrt{(\frac{d-y}{a})^{2}}-1}dy=\int dx$

Untuk menyelesaikan integral tersebut, misalkan $u=\frac{d-y}{a}$ , maka $-a du=dy$ . Karenanya persamaan integral di atas menjadi

$\int\frac{-a}{\sqrt{u^{2}-1}}du=\int dx$

$-acosh^{-1}(u)=x+C^{*}$

substitusikan kembali $u=\frac{d-y}{a}$ , menghasilkan

$-acosh^{-1}(\frac{d-y}{a})=x+C^{*}$

$cosh^{-1}(\frac{d-y}{a})=-\frac{x+C^{*}}{a}$

$\frac{d-y}{a}=cosh(\frac{x}{a}+C)$

Jadi solusi umumnya adalah

$y=d-acosh(\frac{x}{a}+C)$

Karena nilai awalnya $y(0)=d-a$ , sehingga kita temukan $C=0$ . Maka solusi khusus dari persamaan diferensial $(1)$ adalah

$y=d-acosh(\frac{x}{a})$

Tada! Kita sudah selesai melakukan perhitungan untuk mencari persamaan kurva yang diinginkan. Persamaan $y=d-acosh(\frac{x}{a})$ merupakan jenis kurva yang dikenal dengan nama kurva Catenary terbalik.

Gerbang berbentuk Catenary terbalik [Sumber: Wikipedia.com]

Sebagai contoh, kita memiliki sepeda yang roda-rodanya berbentuk persegi, dengan panjang sisinya sebesar 2, sehingga jarak dari titik pusat dengan titik tengah sisinya adalah $a=1$ . Berdasarkan Teorema Pythagoras kita punya $d=\sqrt{2}$ (lihat gambar).Kita peroleh persamaan kurvanya $y=\sqrt{2}-cosh(x)$ .

Jadi permukaan jalanannya haruslah mengikuti grafik $y=\sqrt{2}-cosh(x)$ , dimana $-cosh^{-1}(\sqrt{2})\leq x\leq cosh^{-1}(\sqrt{2})$ .

Kita juga dapat memeriksa panjang busur $y=\sqrt{2}-cosh(x)$ dari $x=-cosh^{-1}(\sqrt{2})$ sampai $x=cosh^{-1}(\sqrt{2})$ sebesar 2 satuan, yang mana setara dengan panjang sisi perseginya.

Jadi menggunakan sepeda dengan roda berbentuk persegi tidaklah mustahil untuk kita gunakan, selama permukaan jalannya tidak rata dan mengikuti kurva Catenary terbalik. Berani untuk mencobanya?

Sumber: greenbookblog.org

Referensi:

Hoehn F, Stacy. Smooth Rides on Square Wheels.2011