Apa itu Bilangan π (Pi) di dalam Matematika?

“Jika suatu lingkaran memiliki jari-jari sebesar $r=7 cm$ , maka berapakah luas lingkaran tersebut?”, tanya guru SD kita saat itu. Spontan saja langsung kita jawab $154 cm^{2}$ , yang didapat dari penghitungan rumus luas lingkaran $L=\pi r^{2}$ . Guru kita mengajarkan kepada kita bahwa nilai dari $\pi$ (dibaca: pi) adalah sebesar $\frac{22}{7}$ atau $3,14$ . Kita mengiakan saja tanpa bertanya apa sebenarnya bilangan $\pi$ itu dan dari mana asal-usulnya. Padahal dari sejarahnya sendiri, Archimedes telah membuktikan bahwa $\pi <\frac{22}{7}$ dan $\pi>\frac{223}{71}$ . Jadi rentang nilai $\pi$ adalah

$\frac{223}{71}<\pi<\frac{22}{7}$

Perlu digaris bawahi, $\pi$ bukanlah suatu bilangan rasional. Artinya, nilai dari $\pi$ tidak dapat dituliskan ke dalam bentuk pecahan $\frac{p}{q}, q\neq 0$ dan $p,q$ keduanya bilangan bulat.

Jadi, apa sebenarnya bilangan $\pi$ itu?

$\pi$ merupakan rasio atau perbandingan dari keliling suatu lingkaran $(k)$ dengan panjang diameternya $(d)$ . Jadi sebesar atau sekecil apa pun lingkaran yang kita punya, jika keliling lingkaran tersebut dibagi dengan panjang diameternya maka akan menghasilkan suatu bilangan konstan yang disebut $\pi$ ,

$\pi =\frac{k}{d}$

Dari perbandingan tersebut, kita bisa peroleh rumus keliling lingkaran sebagai $k=\pi d$ . Karena diameter lingkaran merupakan dua kali jari-jarinya, jadi dapat dituliskan $k=\pi(2r)=2\pi r$ . Nah, permasalahan sekarang adalah; bagaimana matematikawan terdahulu menaksir nilai $\pi$ ? mengingat kalkulator scientific saat itu masih menjadi khayalan semata.

Archimedes merupakan ilmuwan pertama yang mampu menaksir nilai $\pi$ dengan cukup akurat. Meskipun saat itu ia tidak tahu berapa panjang keliling lingkaran, namun dia mencoba untuk menghampiri panjang keliling lingkaran dengan keliling suatu segi- $n$ beraturan. Bagaimana caranya?

Pertama kita harus mencari rumus keliling dari segi- $n$ beraturan. Karena rumus keliling lingkaran adalah $k= 2\pi r$ , maka agar $k =\pi$ , haruslah $r=1/2$ . Jadi kita akan bekerja pada lingkaran dengan jari-jari sebesar $r=1/2$ , tentu dengan tujuan agar lebih mudah. Sekarang perhatikan lingkaran yang dihampiri oleh segi- $n$ berikut

Kita buat garis $AB$ dan $AD$ sehingga $\Delta ABD$ merupakan segitiga siku-siku dan $\Delta ABC$ merupakan segitiga sama kaki,

Dari sana dapat terlihat bahwa $AD\perp BC$ dan $BD=DC$ . Selanjutnya misalkan garis $BC$ dan $DC$ memiliki panjang $a$ .

Tujuan kita sekarang adalah mencari nilai dari $a$ . Caranya; perhatikan nilai sinus dari sudut $\theta$ , yaitu perbandingan dari sisi depan dengan sisi miringnya,

$\sin\theta=\frac{BD}{AB}=\frac{a}{1/2}=2a$

Jadi kita punya rumus untuk menentukan panjang sisi $BC$ sebagai

$\bar{BC}=a+a=2a=\sin\theta$

$\bar{BC}=\sin\theta$

Karenanya keliling dari segi- $n$ tersebut adalah

Keliling segi- $n=$ Jumlah sisi $BC$ $\times$ $\bar{BC}$

Keliling segi- $n=n\times\sin\theta$

Yippie~ kita sudah mendapatkan rumus mencari keliling segi- $n$ beraturan. Sentuhan terakhir, kita perlu mencari nilai dari sudut $\theta$ . Karena jumlah sudut satu lingkaran penuh adalah sebesar $360^{o}$ ,

maka

$\theta =\frac{360^{o}}{n}\times\frac{1}{2}=\frac{180^{o}}{n}$

Jadi diperoleh

Keliling segi- $n=n\times\sin(\frac{180^{o}}{n})$

Nah, sekarang kita bisa menghampiri nilai $\pi$ berdasarkan rumus di atas. Konsepnya begini, misalkan kita ingin menghampiri keliling lingkaran berjari-jari $r=1/2$ oleh keliling suatu segi enam (artinya segi- $n$ dengan $n=6$ ). Jadi kita cukup menghitung

Keliling segi enam $=6\sin(\frac{180}{6})=3$

Karena keliling lingkarannya bernilai $k=\pi$ , maka keliling lingkaran tersebut dapat dihampiri oleh keliling segi enam, yang berarti

$k=\pi\approx 3$

Agar nilai aproksimasinya lebih baik lagi, maka kita harus menghampiri lingkaran tersebut dengan segi- $n$ untuk $n$ yang cukup besar. Misalnya dengan segi seribu sehingga diperoleh nilai hampirannya

$k=\pi\approx 3,141587$

Sumber : zazzle.com

Sumber Gambar:

\https://www.youtube.com/watch?v=DLZMZ-CT7YU

https://steemit.com/steemstem/@bikkichhantyal/so-close-no-matter-how-far-concept-of-limit

Baca Lagi Biar Pinter

Mengapa Nilai π=3,14... Ekuivalen dengan 180 Derajat?
55
Ada dua ukuran yang digunakan ketika menghitung besar sudut: ukuran pertama adalah derajat yang sudah dikenal dengan baik sewaktu SD,…
Tags: $latex, $, kita, pi, lingkaran
Lingkaran Besar Lingkaran Kecil
54
Pagi ini saya mendapatkan Problem of The Day dari page Brilliant.org di facebook. Brilliant.org merupakan suatu website yang dibuat oleh Calvin Lin…
Tags: lingkaran, $latex, $, pi, kita
Jika π Bilangan Irasional, Mengapa dapat Dituliskan Sebagai Perbandingan Keliling dan Diameter Lingkaran?
48
Seperti yang kita ketahui, $latex \pi$ merupakan konstanta yang diperoleh dari perbandingan keliling lingkaran $latex (k)$ dengan panjang diameternya $latex…
Tags: $latex, $, lingkaran, keliling, pi
Tentukan Sudut θ Agar Volumenya Maksimum!
45
[Latexpage] Hari ini Shina ingin membuat sebuah wadah berbentuk kerucut yang dibentuk dari kertas berbentuk lingkaran dengan jari-jari sebesar $latex…
Tags: $latex, lingkaran, pi
Konsep Trigonometri Berdasarkan Lingkaran Satuan
37
Sekarang kita akan memahami konsep trigonometri berdasarkan lingkaran satuan. Apa itu lingkaran satuan? Lingkaran satuan berarti lingkaran dengan jari-jari sebesar…
Tags: $latex, $, lingkaran, kita