Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Login

Register Now

Teknik Pemfaktoran

Kunci utama menyelesaikan soal pertidaksamaan adalah pemfaktoran untuk menentukan akar-akar persamaan. Sewaktu SMA kita sudah belajar mencari akar akar persamaan berderajat n dengan menggunakan metode Horner. Metode Horner akan mudah diterapkan jika kita mengetahui salah satu akar dari polinom tersebut, bagaimana jika salah satu akarnya tidak diketahui? Kita harus melakukan trial and error untuk mencarinya, dan bisa jadi membutuhkan waktu yang cukup lama. Sebagai permulaan, kita akan membahas teknik-teknik pemfaktorkan selain menggunakan metode Horner.

Rumus Faktorisasi Umum

  1. \left (x^{2}-y^{2}\right) =\left (x+y\right)\left (x-y\right)
  2. \left (x^{3}-y^{3}\right) = \left (x-y\right)\left (x^{2}+xy+y^{2} \right)
  3. \left (x^{4}-y^{4}\right) = \left (x^{2}+y^{2}\right )\left (x+y\right )\left (x-y\right )
  4. (x^{4}+y^{4}) = (x^{2}+y^{2}+\sqrt{2}xy)(x^{2}+y^{2}-\sqrt{2}xy)

Rumus Kecap ABC (Rumus Kuadratik)

Rumus ABC merupakan rumus yang digunakan untuk menentukan akar-akar dari persamaan ax^{2}+bx+c=0. Rumusnya diberikan sebagai

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

dimana x_{1} dan x_{2} merupakan akar-akar dari ax^{2}+bx+c=0. bentuk b^{2}-4ac kita katakan sebagai diskriminan dari persamaan kuadrat ax^{2}+bx+c=0, dituliskan

D=b^{2}-4ac

Teknik Pemfaktoran Bentuk x^{2} \pm 2xy + y^{2}

Jika menemukan bentuk x^{2}+2xy+y^{2}, maka faktorkan menjadi (x+y)^{2}. Jika menemukan bentuk x^{2}-2xy+y^{2}, maka faktorkan menjadi (x-y)^{2}.

Contoh:

  • 9x^{2}+30xy+25y^{2} = (3x)^{2}+2(3x)(5y)+(5y)^{2} = (3x+5y)^{2}
  • 4t^{2}-36tw+81w^{2} = (2t)^{2}-2(2t)(9w)+(9w)^{2} = (2t-9w)^{2}

Teknik Pemfaktoran dengan Pengelompokkan Suku

 

Contoh:Persamaan berderajat 3.

4x^{3}-7x^{2}-20x+35

= (4x^{3}-7x^{2})-(20x-35) (Kelompokkan suku-suku)

= x^{2}(4x-7)-5(4x-7) (Faktorkan keluar)

= (x^{2}-5)(4x-7) (Faktorkan)

= (x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})(4x-7)  (Rumus umum faktorisasi no 1)

Contoh:Persamaan Berderajat 4.

x^{4}-625

= (x^{2})^{2}-25^{2}

= p^{2}-25^{2} (Misalkan p=x^{2})

= (p+25)(p-25) (Rumus umum no 1)

= (x^{2}+25)(x^{2}-25) (Substitusikan kembali p=x^{2})

=(x^{2}+25)(x^{2}-5^{2})

=(x^{2}+25)(x+5)(x-5). (Rumus umum no 1)

—————

(x-3)^{4}+2(x-3)^{2}-8

= ((x-3)^{2})^{2}+2(x-3)^{2}-8

= p^{2}+2p-8 (Misalkan p=(x-3)^{2})

= (p-2)(p+4) (Faktorkan)

= ((x-3)^{2}-2)((x-3)^{2}+4) (Substitusikan kembali p=(x-3)^{2})

=(x^{2}-6x+7)(x^{2}-6x+13)

—————

x^{4}-2x^{2}-8

= (x^{2})^{2}-2x^{2}-8

= p^{2}-2p-8 (Misalkan p=x^{2})

= (p-4)(p+2) (Faktorkan)

= (x^{2}-4)(x^{2}+2) (Substitusikan kembali p=x^{2})

= (x^{2}-2^{2})(x^{2}+2)

= (x+2)(x-2)(x^{2}+2) (Rumus umum no 1)

Contoh:
Persamaan berderajat 5.

x^{5}-2x^{4}+x-2

= (x^{5}-2x^{4})+(x-2) (Kelompokkan suku-suku)

=x^{4}(x-2)+1.(x-2) (Faktorkan keluar)

=(x^{4}+1)(x-2) (Faktorkan)


Persamaan Berderajat 6.

x^{5}-3x^{3}-2x^{2}+6

=(x^{5}-3x^{3})-(2x^{2}-6) (Kelompokkan suku-suku)

= x^{3}(x^{2}-3)-2(x^{2}-3) (Faktorkan keluar)

= (x^{3}-2)(x^{2}-3) (Faktorkan)

=(x-\sqrt[3]{2})(x^{2}+\sqrt[3]{2}x+2^{\frac{2}{3}})(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) (Rumus umum no 1 dan 2)

Contoh:

x^{6}+6x^{3}+5

=(x^{3})^{2}+6x^{3}+5

= p^{2}+6p+5 (Misalkan p=x^{3})

= (p+1)(p+5) (Faktorkan)

= (x^{3}+1)(x^{3}+5) (Substitusikan kembali p=x^{3})

=(x+1)(x^{2}-x+1)(x^{3}+5) (Rumus umum no 2)

[maxbutton id=”7″]

Belajarlah seumur hidupmu.

About Arini Soesatyo Putri

Math Addict || Freelance Illustrator || Traveller || Blogger || Hijab Cosplayer || Anime Lover

Follow Me

Leave a reply