Jawaban Soal Latihan Purcell Subbab 0.3

Send Message

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Jawaban Soal Latihan Purcell Subbab 0.3

Soal-soal 0.3

Sistem Koordinat Rektangular

Dalam soal-soal 1-4 gambarlah titik-titik yang diberikan dalam bidang koordinat dan kemudian carilah jarak antara titik-titik tersebut.

$(-1,5), (6,3)$

Jawaban:

$d=\sqrt{(-1-6)^2 + (5-3)^2}=\sqrt{49+4}=\sqrt{53}=7.28$

Tunjukkanlah bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya adalah $(2,-4),(4,0)$ dan $(8,-2)$ adalah siku-siku.

Jawaban:

$a=\sqrt{(2-4)^2 + (-4-0)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$

$b=\sqrt{(4-8)^2 + (0+2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$

$c=\sqrt{(2-8)^2 + (-4+2)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$

$a^2+b^2=c^2$ sehingga segitiga tersebut adalah siku-siku

Carilah titik pada sumbu- $x$ yang berjarak sama dari $(3,1)$ dan $(6,4)$ .

Jawaban:

$\sqrt{(x-3)^2+(0-1)^2} = \sqrt{(x-6)^2+(0-4)^2}$

$x^2-6x+10 = x^2 -12x +52$

$6x = 42$

$x=7 \rightarrow (7,0)$

Carilah panjang ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah ruas-ruas $AB$ dan $CD$ , dengan $A = (1,3), B= (2,6), C=(4,7)$ dan $D=(3,4)$ .

Jawaban:

Titik tengah dari $AB= (\frac{1+2}{2},\frac{3+6}{2})=(\frac{3}{2},\frac{9}{2})$

Titik tengah dari $CD= (\frac{4+3}{2},\frac{7+4}{2})=(\frac{7}{2},\frac{11}{2})$

$d=\sqrt{(\frac{3}{2}-\frac{7}{2})^2+\frac{9}{2}-\frac{11}{2})^2}$

$=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

Dalam soal-soal 11-16 carilah persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan yang diberikan.

Pusat $(-2,3)$ , jari-jari 4

Jawaban:

$(x+2)^2 + (y-3)^2 = 4^2$

$(x+2)^2 + (y-3)^2 = 16$

Pusat (4,3) melalui (6,2)

Jawaban:

$(x-4)^2 + (y-3)^2 = r^2$

$(6-4)^2 + (2-3)^2 = r^2$

$r^2 =4+1=5$

Dalam soal-soal 17-22, carilah pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan yang diberikan.

$x^2 + y^2 - 6y = 16$

Jawaban:

$x^2 + y^2 - 6y = 16$

$x^2 + (y^2 - 6y+9) = 16+9$

$x^2+(y-3)^2 = 25$

pusat= $(0,3)$ , radius $= 5$

$x^2 + y^2 - 10x + 10y = 0$

Jawaban:

$x^2 + y^2 - 10x + 10y = 0$

$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 + 10y + 25) = 25+25$

$(x-5)^2 + (y+5)^2 = 50$

pusat= $(5,-5)$ , radius $= \sqrt{50}=5\sqrt{2}$

Dalam soal-soal 23-28, cari kemiringan dari garis yang mengandung dua titik yang diberikan.

$(3,5)$ dan $(4,7)$

Jawaban:

$\frac{7-5}{4-3}=2$

$(-6,0)$ dan $(0,6)$

Jawaban:

$\frac{6-0}{0+6}=1$

Dalam soal-soal 29-34, cari persamaan untuk tiap garis. Kemudian tuliskan jawaban anda dalam bentuk $Ax + By + C = 0$

Melalui $(3,4)$ dengan kemiringan $-1$ .

Jawaban:

$y - 4 = -1(x-3)$

$y - 4 = -x+3$

$x+y-7=0$

Dengan perpotongan- $y 5$ dan kemiringan $0$ .

Jawaban:

$y = 0x+5$

$0x+y-5=0$

Melalui $(4,1)$ dan $(8,2)$ .

Jawaban:

$m=\frac{2-1}{8-4}=\frac{1}{4}$

$y-1=\frac{1}{4}(x-4)$

$x-4y+0=0$

Dalam soal-soal 35-38, carilah kemiringan dan perpotongan- $y$ untuk tiap garis.

$-4y= 5x - 6$

Jawaban:

$-4y= 5x - 6$

$y= (-\frac{5}{4}x) + (\frac{3}{2})$

kemiringan $= (-\frac{5}{4})$ ; perpotongan- $y=\frac{3}{2}$

$4x+5y=-20$

Jawaban:

$4x+5y=-20$

$5y= -4x - 20$

$y= -\frac{4}{5}x - 4$

kemiringan $= -\frac{4}{5}$ ; perpotongan- $y =-4$

Tunjukkan bahwa persamaan garis dengan perpotongan $-x$ adalah $a \ineq 0$ dan perpotongan- $y$ adalah $b \ineq 0$ dapat dituliskan sebagai

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

Jawaban:

$(a,0),(0,b); m=\frac{b-0}{0-a}=-\frac{b}{a}$

$y=-\frac{b}{a}x + b; \frac{bx}{a} + y = b; \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

Dalam soal-soal 45-48, cari koordinat-koordinat titik potongnya. Kemudian tuliskan persamaan garis yang mudah melalui titik tersebut tegak lurus pada garis yang dituliskan pertama.

$4x - 5y = 8$

$2x + y = -10$

Jawaban:

$4x - 5y = 8 |\cross 1$

$2x + y = -10 |\cross 2$

$4x - 5y = 8$

$4x + 2y = -20 -$

$-7y = 28$

$y = -4$

$4x- 5(-4) = 8$

$4x = -12$

$x= -3$

Titik potong: $(-3, -4)$

$4x - 5y = 8$

– $5y = -4x8$

$y =(\frac{4}{5})x - (\frac{8}{5})$

$m = -(\frac{5}{4})$

$y + 4 = -(\frac{5}{4})(x+3)$

$y = -(\frac{5}{4})x+-(\frac{31}{4})$

Cari persamaan lingkaran yang melingkupi segitiga siku-siku yang titik-titik sudutnya adalah $(0,0),(8,0),(0,6)$

Jawaban:

Dari soal 51 telah diketahui bahwa titik tengah dari sisi miring (4,3) adalah berjarak sama dari ketiga titik-titik sudutnya. Ini merupakan titik tengah lingkaran. Jari-jarinya adalah $sqrt{16+9}=5$ . Persamaan dari lingkaran adalah $(x-4)^2 +(y-3)^2=25$

Bagaimanakahhubungan antara $a, b$ dan $c$ yang harus dipenuhi jika $x^3 + ax + y^2 + by + c =0$ adalah persamaan sebuah lingkaran?

Jawaban:

$x^2 + ax + y^2 + by + c = 0$

$(x^2 + ax + frac{a^2}{4}) + (y^2 + by + frac{b^2}{4}) = -c + frac{a^2}{4} + frac{b^2}{4}$

$(x + frac{a}{2})^2 + (y + frac{b}{2})^2 = frac{a^2 + b^2 - 4c}{4}$

$frac{a^2 + b^2 - 4c}{4} > 0 \rightarrow a^2 + b^2 > 4c$

lingkaran berjari-jari R diletakkan di kuadran pertama seperti diperlihatkan dalam gambar 18. Berapa jari-jari $r$ dari lingkaran terbesar yang dapat diletakkan diantara lingkaran semula dan titik asal?

Jawaban:

Persamaan kedua lingkaran adalah $(x - R)^2 + (y - R)^2 = R^2$ dan $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$

Misalkan $(a, a)$ menyatakan titik dimana dua lingkaran bersinggungan. Titik ini harus memenuhi:

$(a - R)^2 + (a - R)^2 = R^2$

$(a - R)^2 = \frac{R^2}{2}$

$a = (1 \plusminus \frac{sqrt{2}}{2})R$

Karena $a < R, a = (1-\frac{sqrt{2}}{2})R$

Pada saat yang sama, titik dimana dua lingkaran bersinggungan harus memenuhi:

$(a - r)^2 + (a - r)^2 = r^2$

$(a - r)^2 = \frac{r^2}{2}$

$a = (1 \plusminus \frac{sqrt{2}}{2})r$

Karena $a>r, a = (1+\frac{sqrt{2}}{2})r$

Kemudian dari dua persamaan untuk $a$ diatas didapatkan

$(1-\frac{sqrt{2}}{2})R=(1+\frac{sqrt{2}}{2})r$

Tunjukkan bahwa himpunan titik-titik yang jaraknya ke $(3,4)$ dua kali lebih besar dari jarak ke $(1,1)$ membentuk suatu lingkaran. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut.

Jawaban:

$2\sqrt{ (x −1)^2 + ( y −1)^2} = \sqrt{(x − 3)^2 + ( y − 4)^2}$

$4(x^2 - 2x +1 + y^2 - 2y +1) = x^2 - 6x +9 + y^2 - 8y + 16$

$3x^2 - 2x + 3y^2 = 9 +16 - 4 - 4$

$3x^2 - 2x + 3y^2 = 17$

$x^2 - \frac{2x}{3} + y^2 = \frac{17}{3}$

$(x^2 - \frac{2x}{3} + \frac{1}{9}) + y^2 = \frac{17}{3}+ \frac{1}{9}$

$(x- \frac{1}{3})^2 + y^2 = \frac{52}{9}$

Titik tengah: (\frac{1}{3}, 0); radius(\frac{\sqrt{52}}{3})

Jika diketahui sebuah lingkaran $C$ dan sebuah titik $P$ yang berada di luar laingkaran tersebut. Misalkan ruas garis $PT$ menyinggung $C$ di $T$ dan ada garis lain yang melalui $P$ dan pusat $C$ memotong $C$ pada $M$ dan $N$ . Tunjukkan bahwa $(PM) (PN) = (PT)^2$