Musim salju merupakan musim yang sangat dinanti-nanti bagi mereka para pecinta olahraga Ice Skating dan Ski. Di belahan bumi bagian utara musim salju berlangsung dari bulan Desember hingga Maret, sementara di belahan bumi bagian selatan berlangsung pada bulan Juni hingga September. Sayangnya, di Negara yang dilalui oleh garis Khatulistiwa tidak merasakan musim salju. Jadi, jika di Amerika sedang merasakan turunnya salju, di Negara Indonesia sedang disibukkan dengan film Home Alone yang selalu tayang di bulan Desember! Jika mengingat film Home Alone, di sana terdapat scene di mana diperlihatkan beberapa bentuk dari serpihan salju yang sedang turun. Tentu, bentuknya pun sangat indah. Pernahkah mendengar apa itu serpihan salju? Serpihan salju, atau biasa disebut snowflake merupakan kumpulan kristal yang terdiri dari  kristal es. Serpihan salju tersebut tersusun dari molekul air yang terbentuk melalui tahapan pembentukan yang sempurna.

Konon serpihan salju yang jatuh sepanjang waktu memiliki bentuk bermacam-macam, dan para ilmuwan percaya bahwa peluang serpihan salju memiliki bentuk yang sama itu mendekati nol! Serpihan ini semuanya berbentuk heksagonal

dan setiap butir kristal tersebut memiliki bentuk yang khas. Bentuk dari serpihan salju merupakan suatu bangun datar yang memiliki sisi tak hingga banyaknya dan dipandang sebagai objek fraktal. Jika menyinggung serpihan salju sebagai bangun datar, kira-kira dapatkah kita menentukan keliling serta luas dari bangun datar tersebut?

Sebelum membahas kesana, kita sedikit menyinggung mengenai geometri bangun datar dan berkenalan dulu dengan istilah “fraktal”. Fraktal merupakan benda geometris yang kasar pada setiap skala. Beberapa objek fraktal dapat dipecah menjadi beberapa bagian yang semuanya mirip dengan fraktal aslinya. Pada beberapa kasus, sebuah objek fraktal dapat dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola, yakni dalam proses rekursif atau iteratif. Seorang Ilmuwan asal Swedia, Niels Fabian Helge von Koch (1870-1924) telah mempelajari suatu benda fraktal yang dapat digambarkan sebagai berikut: Pada langkah pertama, diberikan suatu segitiga sama sisi, dari bagian tengah setiap sisi muncul segitiga sama sisi baru dengan panjang sisi sepertiga kali panjang sisi segitiga sebelumnya. Hal ini berulang pada langkah-langkah berikutnya, dan limit yang dihasilkan dari proses ini disebut serpihan salju Koch atau lebih dikenal sebagai Koch snowflake. Berikut ilustrasinya:

Apa yang menarik dari serpihan salju Koch ini? Ternyata serpihan salju Koch merupakan bangun datar yang memiliki keliling tak terhingga, namun luasnya berhingga! Bentuk dari serpihan salju Koch dimulai dari segitiga sama sisi yang diasumsikan memiliki panjang sisi 9 satuan, sehingga keliling segitiganya adalah 27 satuan. Pada masing-masing bagian, banyaknya sisi merupakan empat kali dari sisi sebelumnya, dan panjang masing-masing sisi adalah satu per tiga kali sisi sebelumnya, kita dapat sajikan ke dalam tabel berikut:

Perhatikan bahwa kelilingnya akan terus menaik selama iterasinya terus berlanjut menuju tak hingga tanpa berhenti. Secara matematis, $latex \lim_{n\rightarrow \infty} k_{n}=27(\frac{4}{3})^{n}=\infty$, jelas karena $latex \frac{4}{3}>1$. Jadi keliling serpihan salju Koch menuju tak terhingga. Lalu bagaimana dengan luasnya? Kita perhatikan bahwa luas segitiga dengan panjang sisi $latex s$ adalah $latex \frac{\sqrt{3}}{4}s^{2}$, dan luas masing-masing segitiga yang baru adalah $latex \frac{\sqrt{3}}{4}$. Jika diasumsikan panjang sisi segitiga awal adalah 9, maka luas segitiga awal adalah $latex 81\frac{\sqrt{3}}{4}$ satuan, lebih lanjut kita dapat peroleh tabel iterasinya sebagai berikut:

Maka luas dari serpihan salju Koch dapat direpresentasikan oleh suatu deret geometri adalah

$latex \sum_{n=0}^{\infty}A_{n}=\frac{81\sqrt{3}}{4}+\frac{27\sqrt{3}}{4}+\sum_{n=1}^{\infty} 3\sqrt{3}(\frac{4}{9})^{n-1}=\frac{8}{5}(\frac{81\sqrt{3}}{4})$

Jadi luas serpihan salju Koch adalah sebesar $latex \frac{81\sqrt{3}}{4}$ satuan. Dengan memperumum asumsi panjang sisi sebelumnya, dapat ditunjukkan bahwa berapapun ukuran dari segitiga sama sisi semula, luas dari serpihan salju Koch yang dibangun dari segitiga tersebut adalah  kali luas dari segitiga semula. Menarik bukan? 😀

Ternyata serpihan salju Koch juga dapat dimodifikasi ke dalam bentuk lain yang lebih indah, gambar berikut mengilustrasikan serpihan salju Koch yang dimodifikasi untuk 3 dan 4 iterasi:

Bagaimana, terlihat indah bukan? Kira-kira bangun datar apalagi ya yang memiliki keliling tak terhingga? Jawabannya tidak jauh dari objek-objek fraktal di sekitar kita tentunya, selamat mencari!

Referensi:

Gunawan, Hendra, Lingkaran; Menguak Misteri Bilangan ?, Bangun Datar dan Bangun Ruang Terkait dengan Lingkaran, Graha Ilmu, Yogyakarta, 2015.
Purcell, E.J., Varberg, D. Dan Rigdon, S. E., Calculus, 9th Edition, Prentice Hall, Inc., 2007.
Wikipedia, “Fraktal”, Mei 2016 [http://id.wikipedia.org/wiki/Fraktal]
Mathworld, “Koch Snowflake”, Mei 2016 [mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html]