Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Login

Register Now

Pilih Uji Banding Biasa Atau Uji Banding Limit ?

Ketika kamu bertemu dengan soal tentang deret, pastinya akan ditanya “Apakah deret tersebut konvergen?”. Contoh :

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ldots

Hayoo.. kamu bisa nebak ngga berapa hasil dari penjumlahan suku-suku (dibaca, deret) di atas? Seandainya kita bisa melihat permasalahan di atas secara geometri, maka deret tersebut bisa dilihat sebagai berikut :

Sumbpaner : mrhonner.com

Kita bisa mengatakan bahwa hasil penjumlahannya adalah 1 atau deret di atas konvergen ke 1.

Sayangnya tak semua deret dapat dengan mudah dilihat dari sudut pandang geometri. Cara untuk menentukan suatu deret konvergen atau tidak adalah dengan melakukan uji.

Uji Banding Biasa.

Misal 0\leq a_n\leq b_n untuk n \geq N

  1. Jika deret b_n konvergen maka deret a_n konvergen.
  2. Jika deret a_n divergen maka deret b_n divergen.

Uji Banding Limit.

Misal a_n  \geq 0, b_n>0 dan \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=L

  1. Jika 0<L<\infty, maka deret a_n dan b_n keduanya konvergen atau divergen.
  2. Jika L=0 dan b_n konvergen, maka deret a_n konvergen.

Kalau ada soal, kita harus pakai uji yang mana?~pertanyaan dari Mega.

  • Karena uji banding biasa itu membandingkan, maka kita harus punya stok pembanding berikut dengan jenis kekonvergenannya.
  • Pembanding yang paling mudah biasanya : \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} konvergen jika p>1 divergen ketika p lainnya. (wajib diingat)

 

Contoh Soal.

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+2n+3}

Jawab.

Soal ini nampak mudah kalau kita pakai metode Uji Banding Biasa karena kita bisa menemukan pembanding \frac {1}{n} yang mana

\frac{n}{n^2+2n+3} < \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}

Artinya kita menemukan b_n yang divergen. Tapi uji banding biasa itu bisa dipakai kalau kita menemukan b_n yang konvergen atau a_n yang divergen.

Maka, kali ini kita akan menaruh pilihan kita ke uji banding limit.

Kita pilih b_n=\frac{1}{n} agar suku pangkat tertinggi pada pembilang dan penyebutnya sama.

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n}{n^2+2n+3}}{1/n}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^2}{n^2+2n+3}=2

*pake aturan L’hopital.

Karena hasilnya 2 dan b_n divergen maka a_n divergen.

Sumber : memegenerator

Tidak mudah jalan menuju surga

Leave a reply