Pertidaksamaan

Send Message

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Pertidaksamaan

Manfaat sederhana di kehidupan nyata : Seorang pengusaha penjual kaos custom menjual kaosnya di jejaring sosial media dengan cost untuk iklan sebesar 1 juta per bulan. Apabila pengusaha tersebut mendapatkan untung 100rb perkaos, berapa jumlah kaos yang harus terjual lagi agar untung bila di minggu pertama pengusaha tersebut berhasil menjual dua kaos ?

Simak jawabannya di akhir pembahasan!

Ide : Bayangkan kita sedang memegang dua buah botol aquwah (ceritanya berat wadah botolnya sama). Botol pertama bertuliskan 250 ml, dan botol kedua bertuliskan 450 ml. Botol manakah yang lebih berat? Jawabannya adalah tergantung! Jika botol pertama terisi air hingga penuh sampai 250 ml, sedangkan botol kedua hanya terisi 100 ml saja, maka jelas botol pertama yang lebih berat. Secara tidak langsung, kita sedang belajar membandingkan ukuran dua objek. Untuk membandingkan ukuran dua objek (atau lebih), maka kita butuh sesuatu yang dinamakan pertidaksamaan.

Apa itu Pertidaksamaan?

Pertidaksamaan merupakan pernyataan yang menunjukkan perbandingan ukuran dua buah objek atau lebih. Bentuk baku dari pertidaksamaan dalam notasi matematika adalah $P(x) \geq 0$ , dengan $P(x)$ merupakan suatu polinomial (tanda $\geq$ bisa juga digantikan dengan $\leq$ , $<$ , atau $>$ ). Contoh pertidaksamaan diantaranya, $x^{2}-2x+1 \geq 0$ , atau $x-2 < 0$ , atau $\frac{x^{2}-2}{x+4} \leq 2x$ , dan lain sebagainya.

Pertidaksamaan juga punya sifat-sifat (yang wajib dihafalkan), apa saja sifatnya?

Jika $a < b$ maka $a+c < b+c$
Jika $a < b$ dan $c < d$ maka $a+c < b+d$
Jika $a < b$ dan $c>0$ maka $ac < bc$
Jika $a < b$ dan $c < 0$ maka $ac > bc$
Jika $0 < a< b$ maka $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$

Masalah utama dari pertidaksamaan adalah untuk mencari solusi yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Solusi atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang mana menyebabkan pertidaksamaan tersebut bernilai benar. Solusi tersebut bisa berupa suatu titik, interval atau himpunan. Dua buah pertidaksamaan akan menjadi persamaan jika memiliki himpunan penyelesaian yang sama.

Bagaimana cara menentukan solusi pertidaksamaan?

Untuk menentukan solusi dari pertidaksamaan, kita gunakan sifat-sifat dari pertidaksamaan sebelumnya, yakni dengan:

Mengubah pertidaksamaan tersebut ke dalam bentuk baku
Menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas.
Mengalikan bilangan positif yang sama pada kedua ruas.
Mengalikan bilangan negatif pada kedua ruas dengan syarat arah dari tanda pertidaksamaannya harus dibalik (kenapa hayo?).

Sekarang mari kita lihat contoh soal dari pertidaksamaan:

Contoh 1. Tentukan solusi dari pertidaksamaan $2x - 7 \leq x$

Pembahasan: Perhatikan

$2x -7+(-x) \leq x+(-x)$ (kedua ruas dijumlahkan dengan $-x$ )

$x-7 \leq 0$

$x-7+7 \leq 7$ (kedua ruas dijumlahkan dengan $7$ )

$x \leq 7$

jadi solusi dari pertidaksamaan tersebut adalah $x \leq 7$ , atau dalam notasi himpunan dituliskan $\left \{x|x \leq 7, x\in \mathbb{R}\right \}$ , atau dalam notasi interval ditulis $\left (-\infty, 7\right]$ .

Contoh 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari

$-14 < -7(3x+2) < 1$

Pembahasan: Nilai $x$ tersebut haruslah memenuhi dua kondisi berikut:

$-14 < -7(3x+2)$	$-7(3x+2) < 1$
$-14 < -21x-14$	$-21x-14 < 1$
$0 < -21x$	$-21x < 15$
$x <0$	$x > -\frac{15}{21}$
	$x > -\frac{5}{7}$

Jadi haruslah $x <0$ dan $x > -\frac{5}{7}$ , atau penyelesaian tersebut dapat kita sederhanakan kembali dengan melihat garis bilangan

Jadi solusinya adalah $-\frac{5}{7}<x<0$ , atau dalam notasi interval menjadi $\left (-\frac{5}{7}, 0 \right )$ .

Contoh 3. Itachi Uchiha mendapatkan nilai $76$ dari $100$ saat UTS Kalkulus. Untuk mendapatkan nilai akhir B haruslah nilai rata-rata UTS dan UAS di antara $80$ dan $90$ . Berapa interval nilai UAS yang harus didapatkan agar Itachi mendapatkan nilai akhir B?

Pembahasan: Misalkan $x$ merupakan nilai UAS yang diperoleh. Nilai rata-rata UTS dan UAS didefinisikan sebagai $\frac{x+76}{2}$ . Agar mendapatkan nilai B maka haruslah

$80< \frac{x+76}{2}<90$

$160<x+76<180$

$84<x<104$

sehingga nilai UASnya di antara $84$ dan $100$ (ingat, tidak ada nilai $104$ :p).

Contoh 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $3x^{2}+5x \geq 2$ .

Pembahasan: Kita ubah ke dalam bentuk baku pertidaksamaan

$3x^{2}+5x-2 \geq 0$

$(3x-1)(x+2) \geq 0$

Sekarang kita tentukan titik kritisnya, yakni nilai $x$ yang menyebabkan pertidaksamaan di sebelah kiri bernilai nol. Terjadi ketika

$3x-1 = 0$ atau $x+2=0$

$x= \frac{1}{3}$ atau $x=-2$

Selanjutnya kita gambarkan titik-titik kritis tersebut ke dalam garis bilangan, kemudian mengambil beberapa titik uji untuk melihat ‘tanda’nya

Titik Uji	$(3x-1)(x+2)$	Tanda
$x=-3$	$(3(-3)-1)(-3+2) =10$	$+$
$x=0$	$(3(0)-1)(0+2)=-2$	$-$
$x=1$	$(3(1)-1)(1+2)=6$	$+$

Jadi himpunan nilai $x$ yang memenuhi $(3x-1)(x+2) \geq 0$ adalah $\left \{x\mid x\leq -2, atau x\geq \frac{1}{3}, x\in \mathbb{R} \right \}$ .

Contoh 5. Selesaikan $\frac{3}{x-3} \geq x-5$ .

Pembahasan: Kita ubah ke dalam bentuk baku pertidaksamaan

$\frac{3}{x-3} \geq x-5$

lebih lanjut didapat

$\frac{3}{x-5}-x+5 \geq 0$

$\frac{3+(-x+5)(x-4)}{x-3} \geq 0$

$\frac{-x^{2}+8x-12}{x-3} \geq 0$

$\frac{x^{2}-8x+12}{x-3} \leq 0$

$\frac{(x-6)(x-2)}{x-3} \leq 0$

Titik kritis yang menyebabkan pertidaksamaan di sebelah kiri bernilai nol adalah $x=6$ atau $x=2$ , dan kita harus mengecualikan $x=3$ karena akan menyebabkan pembagian dengan nol. (Ingat, haram banget hukumnya jika ada pembagian dengan nol).

Titik Uji	$\frac{(x-6)(x-2)}{x-3}$	Tanda
$x=0$	$\frac{(0-6)(0-2)}{0-3}=-4$	$-$
$x= 2,5$	$\frac{(2,5-6)(2,5-2)}{2,5-3}=3,5$	$+$
$x= 4$	$\frac{(4-6)(4-2)}{4-3}=-4$	$-$
$x= 7$	$\frac{(7-6)(7-2)}{7-3}=1,25$	$+$

Jadi solusi nilai $x$ agar memenuhi $\frac{(x-6)(x-2)}{x-3} \leq 0$ adalah untuk $x$ pada interval $\left (-\infty,2 \right ] \cup \left (3,6 \right ]$ .

Catatan: Dalam menggambar garis bilangan, beri bulatan penuh jika bilangan tersebut termasuk ke dalam himpunan penyelesaian, dan beri bulatan kosong jika bilangan tersebut harus dikecualikan.

Ada beberapa kesalahan yang sering dilakukan ketika menyelesaikan pertidaksamaan, dan jika kesalahan ini dilakukan, maka hasilnya akan fataaall bangeeet. Contohnya kita ambil soal pada Contoh 5,