Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Login

Register Now

Pertidaksamaan

Bayangkan kita sedang memegang dua buah botol aquwah (ceritanya berat wadah botolnya sama). Botol pertama bertuliskan 250 ml, dan botol kedua bertuliskan 450 ml. Botol manakah yang lebih berat? Jawabannya adalah tergantung! Jika botol pertama terisi air hingga penuh sampai 250 ml, sedangkan botol kedua hanya terisi 100 ml saja, maka jelas botol pertama yang lebih berat. Secara tidak langsung, kita sedang belajar membandingkan ukuran dua objek. Untuk membandingkan ukuran dua objek (atau lebih), maka kita butuh sesuatu yang dinamakan pertidaksamaan.

Apa itu Pertidaksamaan?

Pertidaksamaan merupakan pernyataan yang menunjukkan perbandingan ukuran dua buah objek atau lebih. Bentuk baku dari pertidaksamaan dalam notasi matematika adalah P(x) \geq 0, dengan P(x) merupakan suatu polinomial (tanda \geq bisa juga digantikan dengan \leq, <, atau >). Contoh dari pertidaksamaan: x^{2}-2x+1 \geq 0, atau x-2 < 0, atau \frac{x^{2}-2}{x+4} \leq 2x, dan lain sebagainya.

Pertidaksamaan juga punya sifat-sifat (yang wajib dihafalkan), apa saja sifatnya?

  1. Jika a < b maka a+c < b+c
  2. Jika a < b dan c < d maka a+c < b+d
  3. Jika a < b dan c>0 maka ac < bc
  4. Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc
  5. Jika 0 < a< b maka \frac{1}{b} < \frac{1}{a}

Masalah utama dari pertidaksamaan adalah untuk mencari solusi yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Solusi atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang mana menyebabkan pertidaksamaan tersebut bernilai benar. Solusi tersebut bisa berupa suatu titik, interval atau himpunan. Dua buah pertidaksamaan akan menjadi persamaan jika memiliki himpunan penyelesaian yang sama.

Bagaimana cara menentukan solusi pertidaksamaan?

Untuk menentukan solusi dari pertidaksamaan, kita gunakan sifat-sifat dari pertidaksamaan sebelumnya, yakni dengan:

  • Mengubah pertidaksamaan tersebut ke dalam bentuk baku
  • Menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas.
  • Mengalikan bilangan positif yang sama pada kedua ruas.
  • Mengalikan bilangan negatif pada kedua ruas dengan syarat arah dari tanda pertidaksamaannya harus dibalik (kenapa hayo?).

Sekarang mari kita lihat contoh soal dari pertidaksamaan:


Contoh 1. Tentukan solusi dari pertidaksamaan 2x - 7 \leq x

Pembahasan: Perhatikan

                                                                   2x -7+(-x) \leq x+(-x) (kedua ruas dijumlahkan dengan -x)

x-7 \leq 0

                                                                  x-7+7 \leq 7 (kedua ruas dijumlahkan dengan 7)

x \leq 7

jadi solusi dari pertidaksamaan tersebut adalah x \leq 7, atau dalam notasi himpunan dituliskan \left \{x|x \leq 7, x\in \mathbb{R}\right \}, atau dalam notasi interval ditulis \left (-\infty, 7\right].

Contoh 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari

-14 < -7(3x+2) < 1

Pembahasan: Nilai x tersebut haruslah memenuhi dua kondisi berikut:

-14 < -7(3x+2) -7(3x+2) < 1
-14 < -21x-14 -21x-14 < 1
0 < -21x -21x < 15
x <0 x > -\frac{15}{21}
x > -\frac{5}{7}

Jadi haruslah x <0 dan x > -\frac{5}{7}, atau penyelesaian tersebut dapat kita sederhanakan kembali dengan melihat garis bilangan

Jadi solusinya adalah -\frac{5}{7}<x<0, atau dalam notasi interval menjadi \left (-\frac{5}{7}, 0 \right ).

Contoh 3. Itachi Uchiha mendapatkan nilai 76 dari 100 saat UTS Kalkulus. Untuk mendapatkan nilai akhir B haruslah nilai rata-rata UTS dan UAS di antara 80 dan 90. Berapa interval nilai UAS yang harus didapatkan agar Itachi mendapatkan nilai akhir B?

Pembahasan: Misalkan x merupakan nilai UAS yang diperoleh. Nilai rata-rata UTS dan UAS didefinisikan sebagai \frac{x+76}{2}. Agar mendapatkan nilai B maka haruslah

80< \frac{x+76}{2}<90

160<x+76<180

84<x<104

sehingga nilai UASnya di antara 84 dan 100 (ingat, tidak ada nilai 104 :p).

Contoh 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x^{2}+5x \geq 2.

Pembahasan: Kita ubah ke dalam bentuk baku pertidaksamaan

3x^{2}+5x-2 \geq 0

(3x-1)(x+2) \geq 0

Sekarang kita tentukan titik kritisnya, yakni nilai x yang menyebabkan pertidaksamaan di sebelah kiri bernilai nol. Terjadi ketika

3x-1 = 0 atau x+2=0

x= \frac{1}{3} atau x=-2

Selanjutnya kita gambarkan titik-titik kritis tersebut ke dalam garis bilangan, kemudian mengambil beberapa titik uji untuk melihat ‘tanda’nya

Titik Uji (3x-1)(x+2) Tanda
x=-3 (3(-3)-1)(-3+2) =10 +
x=0 (3(0)-1)(0+2)=-2 -
x=1 (3(1)-1)(1+2)=6 +

Jadi himpunan nilai x yang memenuhi (3x-1)(x+2) \geq 0 adalah \left \{x\mid x\leq -2, atau x\geq \frac{1}{3}, x\in \mathbb{R} \right \}.

Contoh 5. Selesaikan \frac{3}{x-3} \geq x-5.

Pembahasan: Kita ubah ke dalam bentuk baku pertidaksamaan

\frac{3}{x-3} \geq x-5

lebih lanjut didapat

\frac{3}{x-5}-x+5 \geq 0

\frac{3+(-x+5)(x-4)}{x-3} \geq 0

\frac{-x^{2}+8x-12}{x-3} \geq 0

\frac{x^{2}-8x+12}{x-3} \leq 0

\frac{(x-6)(x-2)}{x-3} \leq 0

Titik kritis yang menyebabkan pertidaksamaan di sebelah kiri bernilai nol adalah x=6 atau x=2, dan kita harus mengecualikan x=3 karena akan menyebabkan pembagian dengan nol. (Ingat, haram banget hukumnya jika ada pembagian dengan nol).

Titik Uji \frac{(x-6)(x-2)}{x-3} Tanda
x=0 \frac{(0-6)(0-2)}{0-3}=-4 -
x= 2,5 \frac{(2,5-6)(2,5-2)}{2,5-3}=3,5 +
x= 4 \frac{(4-6)(4-2)}{4-3}=-4 -
x= 7 \frac{(7-6)(7-2)}{7-3}=1,25 +

Jadi solusi nilai x agar memenuhi \frac{(x-6)(x-2)}{x-3} \leq 0 adalah untuk x pada interval \left (-\infty,2 \right ] \cup \left (3,6 \right ].

Catatan: Dalam menggambar garis bilangan, beri bulatan penuh jika bilangan tersebut termasuk ke dalam himpunan penyelesaian, dan beri bulatan kosong jika bilangan tersebut harus dikecualikan.


Ada beberapa kesalahan yang sering dilakukan ketika menyelesaikan pertidaksamaan, dan jika kesalahan ini dilakukan, maka hasilnya akan fataaall bangeeet. Contohnya kita ambil soal pada Contoh 5,

Kenapa kita tidak boleh mengalikan silang seperti itu?

Karena kita tidak tahu nilai dari x-3 apakah positif ataukah negatif. Jika bernilai positif, maka boleh kita operasikan

\frac{3}{x-3} \geq x-5

3 \geq (x-5)(x-3)

Tapi bagaimana jika nilai x-3 ternyata negatif? maka haruslah tandanya berubah, yakni

\frac{3}{x-3} \geq x-5

3 \leq (x-5)(x-3)

Nah, karena kita tidak tahu nilai dari x-3 apakah positif ataukah negatif, karenanya lebih baik kita tidak mengalikan kedua ruas dengan x-3.

[maxbutton id=”6″]

Ingin cantik islami tentramkan hati?  Kun anta. Karena Allah telah menciptakanmu dengan “unik” dan sempurna.

 


Lnjut belajar teknik pemfaktoran : here

About Arini Soesatyo Putri

Math Addict || Freelance Illustrator || Traveller || Blogger || Hijab Cosplayer || Anime Lover

Follow Me

Leave a reply