Pertidaksamaan Memuat Nilai Mutlak

Send Message

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Pertidaksamaan Memuat Nilai Mutlak

Manfaat : Sebuah perusahaan botol minuman mengklaim bahwa mesin buatannya dapat mengisi dengan presisi botol sebanyak 100ml air mineral dengan toleransi error 0,01mL. Artinya jarak aktual dari : pengisian riil dengan 100 mL , antara 99,99 mL dan 100,01 mL. $|\textrm{pengisian riil} - 100|\leq 0,01$ .

Ide : Jika di dalam pertidaksamaan tersebut memuat nilai mutlak, maka kita harus selesaikan dengan memandang kembali definisi dari nilai mutlak

$\left |x\right |=\begin{cases}x, & x\geq 0\\ -x, & x < 0\end{cases}$

dan menggunakan sifat-sifat nilai mutlak yang cocok untuk diterapkan dalam kasus pada soal. Berikut ini beberapa contoh cara menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak:

Contoh 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari $\left |x-3 \right | \leq 5$

Pembahasan: Berdasarkan sifat nilai mutlak nomor 3 (pada pembahasan sebelumnya), kita punya

$\left |x-3 \right | \leq 5$

$-5 \leq x-3 \leq 5$

$-5+3 \leq x-3+3 \leq 5+3$

$-2 \leq x \leq 8$

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{x| -2\leq x \leq 8, x\in \mathbb{R} \right \}$ .

Contoh 2. Carilah interval nilai $x$ yang memenuhi $\left |x-1\right | > x$

Pembahasan: Pertama, berdasarkan definisi nilai mutlak, maka $\left |x-1\right |$ dapat dituliskan sebagai

$\left |x-1\right |=\begin{cases}x-1, & x\geq 1\\ -(x-1), & x < 1\end{cases}$

Jadi kita harus selesaikan dengan membaginya ke dalam dua kasus, yakni untuk $x\geq 1$ dan untuk $x<1$ .

Kasus I: Jika $x \geq 1$ , maka pertidaksamaan $\left |x-1\right | > x$ dituliskan menjadi

$x-1 > x$

$x-1+(-x) >x+(-x)$

$-1>0$

Karena pernyataan $-1>0$ tidak tepat, artinya tidak ada solusi yang memenuhi, atau solusinya adalah himpunan kosong $\emptyset$ .

Kasus II: Jika $x < 1$ , maka pertidaksamaan $\left |x-1\right | > x$ dituliskan menjadi

$-(x-1) > x$

$-x+1 > x$

$-x+1+x>x+x$

$1>2x$

$x < \frac{1}{2}$

Karena syarat di awal kasus II haruslah $x<1$ , maka kita harus mengambil irisan dari $x<1$ dan $x< \frac{1}{2}$ . Jadi solusinya adalah $x < \frac{1}{2}$ atau dalam interval menjadi $\left (-\infty, \frac{1}{2} \right )$ .

Setelah mendapatkan solusi dari tiap kasus, sekarang kita tentukan solusi akhirnya. Untuk mencari solusi akhir, maka kita harus menggabungkan solusi pada kasus I dengan solusi pada kasus II, yakni

$\emptyset \cup \left (-\infty, \frac{1}{2} \right )$

$\left (-\infty, \frac{1}{2} \right )$

Catatan: Banyak kesalahan yang dilakukan ketika mengerjakan kasus pertidaksamaan seperti ini, yaitu dengan cara “mengkuadratkan kedua ruas” dengan tujuan “menghilangkan nilai mutlaknya”. Boleh boleh saja mengkuadratkan kedua ruas, tetapi jika kedua ruas tersebut memang dijamin akan selalu positif.

Contoh 3. Selesaikanlah $\left |x-3\right |-\left |x-4\right | < x$ .

Pembahasan: Kita harus mendefinisikan kedua nilai mutlak $\left |x-3\right |$ dan $\left |x-4\right |$ , yakni

$\left |x-3\right |=\begin{cases} x-3, & x \geq 3\\ -(x-3), & x < 3\end{cases}$

$\left |x-4\right |=\begin{cases} x-4, & x \geq 4\\ -(x-4), & x < 4\end{cases}$

Jadi untuk menyelesaikan soal tersebut, kita harus bagi ke dalam 3 kasus, yaitu jika $x \geq 4$ , jika $x<3$ , serta jika $3 \leq x < 4$ .

Kasus I: Jika $x \geq 4$ , maka pertidaksamaan $\left |x-3\right |-\left |x-4\right | < x$ dapat dituliskan menjadi

$x-3-(x-4) < x$

$x-3-x+4 < x$

$1<x$

Karena syarat di awalnya $x \geq 4$ , maka kita harus mengambil irisan dari $x\geq 4$ dan $x>1$ , diperoleh solusinya $x\geq 4$ , atau dalam notasi interval dituliskan $\left [4,\infty \right )$ .

Kasus II: Jika $x<3$ , maka pertidaksamaan $\left |x-3\right |-\left |x-4\right | < x$ dapat dituliskan menjadi

$-(x-3)+(x-4) < x$

$-x+3+x-4<x$

$-1 <x$

Karena syarat di awalnya $x<3$ , maka kita ambil irisan dari $x<3$ dan $x > -1$ , diperoleh solusinya $-1<x<3$ , atau dalam notasi interval dituliskan $\left (-1,3\right )$ .

Kasus III: Jika $3 \leq x < 4$ , maka pertidaksamaan $\left |x-3\right |-\left |x-4\right | < x$ dapat dituliskan menjadi

$(x-3)+(x-4) <x$

$2x-7 < x$

$x-7 < 0$

$x<7$

Karena syarat di awalnya $3 \leq x < 4$ , maka kita harus mengambil irisan dari $x<7$ dan $3 \leq x < 4$ , diperoleh solusinya $3 \leq x < 4$ , atau dalam notasi interval dituliskan $\left [3,4\right )$ .

Solusi akhirnya kita peroleh dengan menggabungkan semua solusi pada kasus I, II, dan III, yakni

$\left [4,\infty \right ) \cup \left (-1,3\right ) \cup \left [3,4\right )$

$\left (-1,\infty \right )$

Contoh 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari $\frac{\left |x\right |}{x-1} > \frac{x+1}{2x+1}$ .

Pembahasan: Kita definisikan

$\left |x\right |=\begin{cases}x, & x\geq 0\\ -x, & x < 0\end{cases}$

Jadi kita selesaikan dengan membaginya ke dalam dua kasus, yaitu jika $x\geq 0$ serta jika $x<0$ .

Kasus I: Jika $x\geq 0$ , maka pertidaksamaan $\frac{\left |x\right |}{x-1} > \frac{x+1}{2x+1}$ dituliskan menjadi

$\frac{x}{x-1} > \frac{x+1}{2x+1}$

$\frac{x}{x-1}-\frac{x+1}{2x+1} > 0$

$\frac{x(2x+1)-(x+1)(x-1)}{(x-1)(2x+1)} >0$

$\frac{x^{2}+x+1}{(x-1)(2x+1)} >0$

kita gunakan garis bilangan dengan titik-titik pemisahnya adalah $x=1$ dan $x=\frac{-1}{2}$ ,

didapat $x>1$ . Karena syarat awalnya $x\geq 0$ , maka kita harus mengambil irisan dari $x\geq 0$ dan $x>1$ , diperoleh solusinya $x>1$ , atau dalam notasi interval dituliskan $(1,\infty)$ .

Kasus II: Jika $x<0$ , maka pertidaksamaan $\frac{\left |x\right |}{x-1} > \frac{x+1}{2x+1}$ dituliskan menjadi

$\frac{-x}{x-1} > \frac{x+1}{2x+1}$

$\frac{-x}{x-1}-\frac{x+1}{2x+1} > 0$

$\frac{-x(2x+1)-(x+1)(x-1)}{(x-1)(2x+1)} >0$

$\frac{-3x^{2}-x+1}{(x-1)(2x+1)} >0$

kita gunakan garis bilangan dengan titik-titik pemisahnya adalah $x=-0,768$ , $x=0,434$ , $x= \frac{-1}{2}$ , dan $x=1$ :

didapat $-0,768 < x < -\frac{1}{2}$ atau $-0,434 < x < 1$ . Karena syarat awalnya $x<0$ , maka kita ambil irisan dari $x<0$ dan $-0,768 < x < -\frac{1}{2}$ atau $-0,434 < x < 1$ . Diperoleh