Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Login

Register Now

Pembuktian Aturan L’Hôpital Kasus 0/0

Pernahkah teman-teman mengerjakan soal limit yang berbentuk \frac{0}{0} atau \frac{\infty}{\infty} dengan menggunakan Aturan L’Hôpital? pasti jadi lebih mudah kan? yup, menyelesaikan soal limit akan terasa lebih mudah ketika menerapkan aturan ini, asalkan semua syarat aturannya terpenuhi, dan tentu kitanya pun harus lihai dalam menentukan turunan fungsinya. Untuk mengetahui syarat apa saja yang harus dipenuhi, pandang kembali Aturan L’Hôpital berikut ini:

Guillaume François Antoine, Markis de l’Hôpital

Teorema L’Hôpital. Misalkan f(x) dan g(x) fungsi yang terdiferensiasikan pada interval terbuka yang memuat a, dan f(a)=g(a)=0. Asumsikan juga g'(x)\neq 0 untuk x yang terletak di sekitaran a tetapi tidak sama dengan a, maka berlaku

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

asalkan limitnya ada. Aturan yang sama juga berlaku jika f(x) dan g(x) terdiferensiasikan untuk x di sekitar a tetapi tidak sama dengan a, dan

 \displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x)=\pm\infty serta   \displaystyle \lim_{x\rightarrow a} g(x)=\pm\infty

Nah sekarang kita akan buktikan Aturan L’Hôpital ini. Ada beberapa versi pembuktiannya, namun yang akan kita bahas sekarang adalah pembuktian Aturan L’Hôpital untuk kasus \frac{0}{0} dengan cara yang paling sederhana. Berikut bukti dari Aturan L’Hôpital untuk kasus \frac{0}{0}:

Asumsikan fungsi f(x) dan g(x) memenuhi semua syarat Aturan L’Hôpital, yakni misalkan f(a)=g(a)=0 dan g'(a)\neq 0.

Maka untuk setiap x, dapat dituliskan f(x)=f(x)-f(a) dan g(x)=g(x)-g(a).

Jadi kita punya

 \displaystyle \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}

 \displaystyle =\lim_{x\rightarrow a}\frac{[f(x)-f(a)]/(x-a)}{[g(x)-g(a)]/(x-a)}

 \displaystyle =\frac{\lim_{x\rightarrow a} [f(x)-f(a)]/(x-a)}{\lim_{x\rightarrow a}[f(a)-f(a)]/(x-a)}

=\frac{f'(a)}{g'(a)}.

Karena kita asumsikan f' dan g' kontinu di a, maka dapat dituliskan

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Terbukti deh. \blacksquare.

Pembuktian Aturan L’Hôpital untuk kasus \frac{\infty}{\infty} akan dibahas di dalam postingan yang lain.

Bukti keimanan adalah amalan.


Sumber Gambar:

https://en.wikipedia.org/wiki/Guillaume_de_l%27H%C3%B4pital

About Arini Soesatyo Putri

Math Addict || Freelance Illustrator || Traveller || Blogger || Hijab Cosplayer || Anime Lover

Follow Me

Leave a reply