Berikut ini merupakan pembahasan dari soal-soal nomor genap latihan buku kalkulus Purcell Jilid 1 edisi 9 subbab 0.2 mengenai Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak.

2.  Gunakan cara penulisan soal 1 untuk mendefinisikan interval-interval berikut.

Jawaban:

a. (2,7)

b. [-3,4)

c. (-\infty, -2]

d. [-1,3]

Dalam masing-masing soal-soal 3-26, nyatakanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan dalam cara penulisan interval dan sketsakan grafiknya.

4.  3x - 5 < 4x -6

Jawaban: Kita punya

3x-5<4x-6

1<x

dalam notasi interval dituliskan

(1,\infty)

8.  -3<4x-9<11

Jawaban: Kita punya

-3<4x-9<11

6<4x<20

\frac{3}{2}<x<5

Dalam notasi interval dituliskan

(\frac{3}{2},5)

26. x^3 - x^2 - x + 1 >0

Jawaban: Kita punya

x^3 - x^2 - x + 1 >0

(x^2-1)(x-1) >0

(x+1)(x-1)^2 >0

Solusinya adalah

(-1,1)\cup( 1,\infty) >0

29. Misalkan a>0, b>0. Buktikan masing-masing pernyataan di bawah ini. (Petunjuk: Kita harus menunjukkan dua bukti: satu untuk \rightarrow dan satu untuk \leftarrow.

a. Pertama kita tunjukkan \rightarrow Misalkan a<b, maka ab<b^2. Kemudian kita punya a^2<ab, akibatnya a^2 <ab<b^2.

Kedua kita tunjukkan \leftarrow. Misalkan a^2<b^2, maka a \ineq. Sehingga 0<(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 < b^2 -2ab+b^2 = 2b(b-a). Karena b>0, akibatnya dapat kita bagi dengan 2b agar didapat b-a>0

  1. Kita dapat membagi atau mengkalikan pertidaksamaan dengan setiap bilangan positif

a<b \leftrightarrow \frac{a}{b}<1 \leftrightarrow \frac{1}{b}< \frac{1}{a}

30. Yang mana dari berikut ini adalah benar jika a \leq b?

a) a^2 \leq ab          c) a^3 \leq a^2b

b) a-3 \leq b-3          d) -a \leq -b

Jawaban:

(b)dan(c) adalah benar,

(a) salah: ambil a=-1 dan b=1

(d) salah: jika a \leq b maka -a \geq -b.

Dalam soal-soal 35-44, carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan.

  1. |2+\frac{5}{x}|>1

Jawaban:

|2+\frac{5}{x}|>1;

2+\frac{5}{x}<-1 atau 2+\frac{5}{x}>1

3+\frac{5}{x}<0 atau 1+\frac{5}{x}>0

\frac{3x+5}{x}<0 atau \frac{x+5}{x}>0

(-\infty,-5) \cup (-\frac{5}{3},0)\cup(0,\infty)

Dalam soal-soal 53-56, carilah \delta ( tergantung pada \epsilon) sedemikian rupa sehingga implikasi yang diberikan adalah benar.

  1. |x - 6| < \delta \rightarrow |6x - 36|<\epsilon

Jawaban:

|6x+36|<\eps \rightarrow |5(x+5)|<\eps

\rightarrow 6|x+6|<\eps

\rightarrow |x+6|<\frac{\eps}{6}; \delta=\frac{\eps}{6}

  1. |x - 5| < \delta \rightarrow |5x - 25|<\epsilon

Jawaban:

|5x+25|<\epsilon \rightarrow |5(x+5)|<\epsilon

\rightarrow 5|x+5|<\epsilon

\rightarrow 5|x+5|<\frac{\epsilon}{5};\delta=\frac{\epsilon}{5}

Dalam soal-soal 59-62, selesaikanlah pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut:

  1. |2x-1| \geq |x+1|

Jawaban:

|2x-1| \geq |x+1|

(2x-1)^2 \geq (x+1)^2

4x^2-4x+1 \geq x^2+2x+1

3x^2-6x \geq 0

3x(x-2) \geq 0

(-\infty,0] \cup [2,infty)

  1. (3, -1); y = 2x -5

Jawaban:

|\frac{1}{x^2+3}-\frac{1}{|x|+2}|=|\frac{1}{x^2+3}+(-\frac{1}{|x|+2})| \leq|\frac{1}{x^2+3}|+|-\frac{1}{|x|+2}| =|\frac{1}{x^2+3}|+|\frac{1}{|x|+2}| \frac{1}{x^2+3}+\frac{1}{|x|+2}

Dengan menggunakan pertidaksamaan segitiga dan karena

x^2+3>0, |x|+2>0\rightarrow\frac{1}{x^2+3}>0 , \frac{1}{|x|+2}>0 x^2+3\geq 3 dan |x|+2 \leq \frac{1}{2}, akibatnya, \frac{1}{x^2+3}+\frac{1}{|x|+2} \leq \frac{1}{3}+\frac{1}{2}

  1. Bilangan \frac{1}{2}(a + b) dinamakan rata-rata, atau rataan hitung dari a dan b. Perlihatkanlah bahwa rataan hitung dari dua bilangna berada diantara kedua bilangan itu; yakni buktikan bahwa

a < b \rightarrow a < \frac{a+b}{2} < b

Jawaban:

a<b

a+a<a+b dan a+b<b+b

2a<+b<2b

a<\frac{a+b}{2}<b

Bagikan ke teman spesial mu

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *