Terkadang kita kesulitan untuk mengerjakan sesuatu secara langsung, tetapi kita dapat mengetahui apa yang terjadi jika kita dekati lebih dekat lagi. Sebagai contoh, misalkan diberikan fungsi f(x) = \frac{x^{2}-4}{x-2}, jika kita menyelesaikan untuk x=2, maka

\frac{2^{2}-4}{2-2} = \frac{0}{0}

Bentuk \frac{0}{0}  merupakan bentuk tak tentu (indeterminate), jadi diperlukan cara lain untuk menyelesaikan masalah ini. Sekarang jika kita dekati nilai tersebut untuk x yang semakin dekat ke 2 akan tetapi x\neq2, yakni

limit

Maka dapat terlihat bahwa semakin x dekat  dengan 2 maka f(x) = \frac{x^{2}-4}{x-2} akan semakin dekat dengan 4, begitupun jika kita dekati 2 dari sebelah kanan. Konsep ini dapat dituliskan sebagai

Limit dari f(x) = \frac{x^{2}-4}{x-2} ketika x mendekati 2 adalah 4

Sekarang dapat kita cermati:

  • f(x) dapat dibuat sembarang dekat ke 4 dengan membuat x cukup dekat ke 2.
  • Jarak f(x) ke 4 dapat dibuat sembarang dekat dengan membuat jarak x ke 2 cukup dekat.
  • |f(x)-4| dapat dibuat sembarang kecil dengan membuat |x-2|  cukup kecil tetapi x \neq 2.
  • |f(x)-4| dapat dibuat lebih kecil dari sembarang bilangan positif dengan membuat |x-2| lebih kecil dari suatu bilangan positif dan 0<|x-2|.
  • Untuk sembarang \varepsilon>0, terdapat suatu \delta>0 sehingga  jika 0<|x-2|<\delta mengakibatkan |f(x)-4| <\varepsilon .
  • Dalam notasi matematika ditulis

\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 \ni 0<|x-2|<\delta \rightarrow |f(x)-4|<\varepsilon

  • Secara singkat dapat ditulis sebagai \displaystyle \lim_{x\rightarrow2}f(x)=4.

Secara intuisi, \displaystyle \lim_{x\rightarrow2}f(x)=L  berarti “semakin x mendekati c namun berlainan dengan c, maka  f(x) dekat dengan L”.

limite_01-svg
wikiwand.com

Analisis. Misalkan \varepsilon (epsilon) menyatakan sebarang bilangan positif yang kecil, jadi ketika x dekat dengan c namun berlainan dengan c, ini menyatakan bahwa  x termuat dalam interval (c-\delta,c+\delta),  kita tuliskan dengan notasi nilai mutlak menjadi 0<|x-c|<\delta (perhatikan pertidaksamaan 0<|x-c| ini menjamin bahwa x\neq c). Kemudian kalimat f(x)  akan dekat dengan L mengartikan bahwa untuk setiap bilangan positif \varepsilon maka fungsi f(x) terletak di dalam interval (f(x)-\varepsilon, f(x)+\varepsilon), jika dituliskan dalam notasi interval menjadi |f(x)-L|<\varepsilon. Maka dari itu kita dapat menyusun definisi limit secara presisi, yakni:

 

Definisi (Limit Fungsi di Satu Titik). Misalkan fungsi  y=f(x) terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri. Limit fungsi f  di c adalah L, ditulis

\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L

Jika untuk setiap \varepsilon>0 terdapat \delta>0 sedemikian rupa sehingga jika 0<|x-c|<\delta maka |f(x)-L|<\varepsilon.

Contoh 1. Buktikan \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}(2x+3)=7Pembahasan: Ada dua langkah untuk membuktikan limit fungsi di satu titik, yaitu analisis pendahuluan dan bukti formal. (Bisa dikatakan analisis pendahuluan merupakan suatu kotretan untuk mencari nilai \delta>0 yang mungkin).

Analisis Pendahuluan. Misalkan untuk sebarang \varepsilon>0 akan ditentukan \delta>0 yang berpadanan sedemikian rupa sehingga untuk  0<|x-2|<\delta berlaku

|f(x)-L| = |(2x+3)-7|=|2x-4|<\varepsilon

Pandang pertidaksamaan sebelah kanan

|2x-4|<\varepsilon \Leftrightarrow |2||x-4|<\varepsilon

           \Leftrightarrow 2|x-4|<\varepsilon

           \Leftrightarrow |x-4|<\frac{\varepsilon}{2}

Maka dapat dipilih \delta = \frac{\varepsilon}{2}.

Bukti Formal. Misalkan untuk sebarang \varepsilon>0 pilih \delta=\frac{\varepsilon}{2}  sedemikian rupa sehingga untuk  0<|x-2|<\delta berlaku

|f(x)-L| = |(2x+3)-7|=|2x-4|=|2||x-2|=2|x-2|<2\delta=2\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon

Jadi terbukti \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}(2x+3)=7.

Hormatilah gurumu. Mereka tidak mengharap jadi kaya raya dari hasil mendidikmu.


Sumber Pustaka:

Kalkulus Edisi 9: Purcell, Verberg, Rigdon.

Diktat Kalkulus ITB: Koko Martono.

Bagikan ke teman spesial mu

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *