Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Login

Register Now

Ide Mengenai Limit

Terkadang kita kesulitan untuk mengerjakan sesuatu secara langsung, tetapi kita dapat mengetahui apa yang terjadi jika kita dekati lebih dekat lagi. Sebagai contoh, misalkan diberikan fungsi f(x) = \frac{x^{2}-4}{x-2}, jika kita menyelesaikan untuk x=2, maka

\frac{2^{2}-4}{2-2} = \frac{0}{0}

Bentuk \frac{0}{0}  merupakan bentuk tak tentu (indeterminate), jadi diperlukan cara lain untuk menyelesaikan masalah ini. Sekarang jika kita dekati nilai tersebut untuk x yang semakin dekat ke 2 akan tetapi x\neq2, yakni

limit

Maka dapat terlihat bahwa semakin x dekat  dengan 2 maka f(x) = \frac{x^{2}-4}{x-2} akan semakin dekat dengan 4, begitupun jika kita dekati 2 dari sebelah kanan. Konsep ini dapat dituliskan sebagai

Limit dari f(x) = \frac{x^{2}-4}{x-2} ketika x mendekati 2 adalah 4

Sekarang dapat kita cermati:

  • f(x) dapat dibuat sembarang dekat ke 4 dengan membuat x cukup dekat ke 2.
  • Jarak f(x) ke 4 dapat dibuat sembarang dekat dengan membuat jarak x ke 2 cukup dekat.
  • |f(x)-4| dapat dibuat sembarang kecil dengan membuat |x-2|  cukup kecil tetapi x \neq 2.
  • |f(x)-4| dapat dibuat lebih kecil dari sembarang bilangan positif dengan membuat |x-2| lebih kecil dari suatu bilangan positif dan 0<|x-2|.
  • Untuk sembarang \varepsilon>0, terdapat suatu \delta>0 sehingga  jika 0<|x-2|<\delta mengakibatkan |f(x)-4| <\varepsilon .
  • Dalam notasi matematika ditulis

\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 \ni 0<|x-2|<\delta \rightarrow |f(x)-4|<\varepsilon

  • Secara singkat dapat ditulis sebagai \displaystyle \lim_{x\rightarrow2}f(x)=4.

Secara intuisi, \displaystyle \lim_{x\rightarrow2}f(x)=L  berarti “semakin x mendekati c namun berlainan dengan c, maka  f(x) dekat dengan L”.

limite_01-svg

wikiwand.com

Analisis. Misalkan \varepsilon (epsilon) menyatakan sebarang bilangan positif yang kecil, jadi ketika x dekat dengan c namun berlainan dengan c, ini menyatakan bahwa  x termuat dalam interval (c-\delta,c+\delta),  kita tuliskan dengan notasi nilai mutlak menjadi 0<|x-c|<\delta (perhatikan pertidaksamaan 0<|x-c| ini menjamin bahwa x\neq c). Kemudian kalimat f(x)  akan dekat dengan L mengartikan bahwa untuk setiap bilangan positif \varepsilon maka fungsi f(x) terletak di dalam interval (f(x)-\varepsilon, f(x)+\varepsilon), jika dituliskan dalam notasi interval menjadi |f(x)-L|<\varepsilon. Maka dari itu kita dapat menyusun definisi limit secara presisi, yakni:

 

Definisi (Limit Fungsi di Satu Titik). Misalkan fungsi  y=f(x) terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri. Limit fungsi f  di c adalah L, ditulis

\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L

Jika untuk setiap \varepsilon>0 terdapat \delta>0 sedemikian rupa sehingga jika 0<|x-c|<\delta maka |f(x)-L|<\varepsilon.

Contoh 1. Buktikan \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}(2x+3)=7Pembahasan: Ada dua langkah untuk membuktikan limit fungsi di satu titik, yaitu analisis pendahuluan dan bukti formal. (Bisa dikatakan analisis pendahuluan merupakan suatu kotretan untuk mencari nilai \delta>0 yang mungkin).

Analisis Pendahuluan. Misalkan untuk sebarang \varepsilon>0 akan ditentukan \delta>0 yang berpadanan sedemikian rupa sehingga untuk  0<|x-2|<\delta berlaku

|f(x)-L| = |(2x+3)-7|=|2x-4|<\varepsilon

Pandang pertidaksamaan sebelah kanan

|2x-4|<\varepsilon \Leftrightarrow |2||x-4|<\varepsilon

           \Leftrightarrow 2|x-4|<\varepsilon

           \Leftrightarrow |x-4|<\frac{\varepsilon}{2}

Maka dapat dipilih \delta = \frac{\varepsilon}{2}.

Bukti Formal. Misalkan untuk sebarang \varepsilon>0 pilih \delta=\frac{\varepsilon}{2}  sedemikian rupa sehingga untuk  0<|x-2|<\delta berlaku

|f(x)-L| = |(2x+3)-7|=|2x-4|=|2||x-2|=2|x-2|<2\delta=2\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon

Jadi terbukti \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}(2x+3)=7.

Mau coba kuisnya? Klik di sini

Hormatilah gurumu. Mereka tidak mengharap jadi kaya raya dari hasil mendidikmu.


Sumber Pustaka:

Kalkulus Edisi 9: Purcell, Verberg, Rigdon.

Diktat Kalkulus ITB: Koko Martono.

About Arini Soesatyo Putriclever

Math Addict || Freelance Illustrator || Traveller || Blogger || Hijab Cosplayer || Anime Lover

Follow Me

Leave a reply