Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Login

Register Now

Grafik Fungsi dan Asimtot

Motivasi kita mempelajari bagaimana caranya menentukan daerah asal fungsi adalah untuk mengetahui karakteristik dari grafik fungsi tersebut. Sebelumnya kita telah bahas bahwa menentukan daerah asal itu bisa dengan dua cara, yaitu dengan menggunakan grafik dan tidak, namun akan lebih baik jika kita menentukan daerah asal tersebut tanpa menggunakan grafik, kenapa? Karena tujuan kita mencari daerah asal agar tahu bagaimana karakter grafik fungsi, bukan menggambar grafik fungsi untuk mencari tahu daerah asalnya. Sekarang kita dapat membayangkan suatu fungsi dengan menggambarkan grafiknya pada koordinat Kartesius jika memandang fungsi f sebagai persamaan y=f(x). Nah, menggambar grafik suatu persamaan ini sudah kita bahas sebelumnya di materi Menggambar Grafik Suatu Persamaan dan Kesimetriannya, jadi sekarang kita hanya akan menyinggung sedikit contoh-contoh menggambar grafik suatu fungsi.

Contoh 1. Sketsakan grafik dari fungsi f(x)=\sqrt{x^{2}-x-6}.

Pembahasan: Pertama tama kita tentukan daerah asal dari fungsi tersebut. Karena f(x) merupakan fungsi irasional dengan n=2 (genap), maka haruslah x^{2}-x-6 \geq 0 agar fungsi f(x) terdefinisi. Lebih lanjut didapat

x^{2}-x-6\geq 0

(x+2)(x-3) \geq 0

x\leq -2 atau x\geq 3

Jadi daerah asalnya adalah D_{f}=\left \{x| x\leq -2, atau x\geq 3 \}. Sekarang kita buat tabel nilai dengan mengambil beberapa nilai x \leq -2 atau x\geq 3,

x y Koordinat Titik
-6 6 (-6,6)
-3 2,499 (-3; 2,499)
-2 0 (-2,0)
3 0 (3,0)
4 2,499 (4; 2,499)
7 6 (7,6)

Kemudian koordinat titik-titik tersebut kita plotkan,

dengan menggambarkan kurva mulus yang melalui titik-titik tersebut, kita punya grafik dari f(x) = \sqrt{x^{2}-x-6},


Asimtot

Misal kita punya fungsi rasional f(x) = \frac{x}{x-1}, kita tahu bahwa di titik x=1 maka fungsi tersebut tidak akan terdefinisi, karena akan diperoleh pembagian dengan nol. Jadi sebenarnya apa sih yang terjadi dengan grafik fungsi tersebut di titik x=1? Untuk menjawabnya, kita harus berkenalan dulu dengan asimtot. So, what is asymptote?

Asimtot adalah sebuah garis lurus yang didekati oleh kurva lengkung, dimana kurva tersebut sangat dekat dengan garis asimtot di titik jauh tak terhingga, tapi kurva ini tidak akan memotong garis asimtot tersebut. Asimtot biasanya digambarkan sebagai garis yang terputus putus, serta tidak setiap grafik fungsi memiliki asimtot. Di antara fungsi yang memiliki asimtot adalah fungsi rasional dengan penyebutnya bernilai nol untuk nilai tertentu. Asimtot juga terbagi menjadi tiga macam, ada asimtot datar, asimtot tegak, dan asimtot miring. Sekarang kita bahas masing-masing ketiga jenis asimtot tersebut:

Asimtot Datar

Misalkan diberikan fungsi rasional f(x) =\frac{a_{1}x^{p}+a_{2}x^{p-1}+a_{3}x^{p-2}+\cdot\cdot\cdot + a_{n}}{b_{1}x^{q}+b_{2}x^{q-1}+b_{3}x^{q-2}+\cdot\cdot\cdot + b_{n}}.

  • Jika pangkat terbesar pada pembilang lebih besar dari pangkat terbesar pada penyebutnya (atau p>q), maka fungsi f(x) tidak memiliki asimtot datar.
  • Jika pangkat terbesar pada pembilang lebih kecil dari pangkat terbesar pada penyebut (atau p<q), maka asimtot datar dari fungsi f(x) adalah y = 0
  • Jika pangkat terbesar pada pembilang sama dengan pangkat terbesar pada penyebut (atau p=q), maka asimtot datarnya adalah y=\frac{a_{1}}{b_{1}}.

Contoh 2. Sketsakan grafik fungsi f(x) =\frac{x+2}{x^{2}+1} dengan terlebih dahulu menentukan asimtotnya!

Pembahasan: Daerah asal dari fungsi f(x) adalah untuk setiap x\in \mathbb{R}, sebab tidak ada nilai x\in \mathbb{R} yang menyebabkan penyebutnya bernilai nol. Karena pangkat tertinggi pada pembilang, yakni 1 lebih kecil dari pangkat tertinggi pada penyebut, yakni 2, maka asimtot datarnya adalah y=0. Sekarang kita gambarkan terlebih dahulu garis putus-putus y=0 sebagai asimtot datar dari fungsi f(x),

Setelah itu, kita plotkan beberapa titik kemudian menghubungkan titik-titik tersebut dengan suatu kurva mulus, didapat

Jika kita zoom di sekitar garis asimtot y=0, di sana kita lihat bahwa kurva yang berwarna merah tersebut tidak akan pernah menyentuh atau berpotongan dengan garis asimtotnya.

Asimtot Tegak

Kita pandang fungsi rasional f(x)= \frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}-5x-6}. Fungsi tersebut tidak akan terdefinisi jika penyebutnya bernilai nol, atau jika

x^{2}-5x-6=0

(x-6)(x+1)=0

x=6 atau x=-1

Karenanya, x=6 dan x=-1 harus dikecualikan dari daerah asal. Nah, garis x=6 dan x=-1 ini merupakan asimtot tegak dari fungsi f(x).

Contoh 3. Sketsakan grafik fungsi f(x)= \frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}-5x-6} beserta asimtotnya.

Pembahasan: Sebelumnya sudah kita ketahui bahwa asimtot tegaknya adalah x=6 dan x=-1. Apakah punya asimtot datar? Karena pangkat terbesar pada pembilang sama dengan pangkat terbesar pada penyebut, yakni 2, maka grafik fungsi f(x) juga memiliki asimtot datar di y=\frac{1}{1}=1. Kita gambarkan semua asimtotnya menjadi

Dengan memplotkan beberapa titik dan menghubungkannya dengan kurva mulus, diperoleh

Asimtot Miring

Sekarang kita pandang fungsi f(x)=\frac{2x^{2}-3x-1}{x-2}. Jika dilakukan pembagian antara pembilang dengan penyebutnya, diperoleh

f(x)=(2x+1)+\frac{1}{x-2}

maka y=2x+1 merupakan asimtot miring dari grafik fungsi f(x). Kita bisa lihat bahwa untuk x  yang cukup besar maka \frac{1}{x-2}  akan menuju nol, sehingga grafik fungsi f(x)  akan mendekati garis y=2x+1.

Contoh 4. Sketsakan grafik fungsi f(x)=\frac{2x^{2}-3x-1}{x-2} dengan asimtotnya.

Pembahasan: Kita sudah punya asimtot miringnya adalah garis y=2x+1. Asimtot tegaknya adalah garis x=2. Perhatikan bahwa f(x) tidak memiliki asimtot datar. Jadi gambar semua asimtotnya  adalahkemudian kita ambil beberapa titik dan menghubungkannya dengan kurva mulus, didapat

Catatan: Suatu fungsi tidak akan mungkin memiliki asimtot datar dan asimtot miring secara bersamaan, kenapa? Pembahasan lebih lanjut mengenai asimtot ini akan kita pelajari di materi limit, karena di materi sekarang kita hanya bahas sekilas saja mengenai asimtot.


Sumber : me.me

Jangan pernah takut melarat.

About Arini Soesatyo Putriclever

Math Addict || Freelance Illustrator || Traveller || Blogger || Hijab Cosplayer || Anime Lover

Follow Me

Comment ( 1 )

  1. Thanks😉

Leave a reply