Garis Lurus dan Kemiringannya (Gradien)

Send Message

Add post

Username* Please type your username .

E-Mail* Please type your E-Mail .

Post Title* Please choose an appropriate title for the post .

Category* Please choose the appropriate section so easily search for your post .

Tags Please choose suitable Keywords Ex : post , video .

Attachment

Browse

Details

Garis Lurus dan Kemiringannya (Gradien)

Sering kita jumpai bentuk benda lurus dalam kehidupan sehari-hari, contohnya, jalanan yang lurus, tiang listrik, penggaris, pulpen, pensil (pensil inul dikecualikan), dan masih banyak lagi. Berangkat dari sana, muncul lah gagasan mengenai garis lurus untuk mewakili suatu objek yang lurus (tidak memiliki kelengkungan) juga tidak memiliki lebar dan ketebalan.

Garis lurus

Lebih lanjut lagi, jika garis lurus tersebut kita letakkan ke dalam koordinat Kartesius, diperoleh penampakkan berikut:

Sumber: siyavula.com

Kemiringan garis dalam koordinat Kartesius juga ada yang arahnya miring ke kanan, dan miring ke kiri, ada yang curam, dan ada yang tidak. Sekarang bisa enggak ya kita mendeskripsikan garis lurus tersebut ke dalam sebuah persamaan? Sehingga kalau kita sebutkan sebuah persamaan garis, maka kita bisa langsung membayangkan, “Oh kalau persamaan garisnya begitu, maka bentuk garisnya pasti kaya gini!“.

Persamaan Garis yang Melewati Titik Asal

Untuk membuat rumus persamaan garis, mula-mula kita perhatikan garis yang melewati titik asal berikut:Perhatikan semua titik yang dilewati oleh garis tersebut. Ketika $x=-1$ maka $y=-1$ , ketika $x=0$ , maka $y=0$ , ketika $x=1$ maka $y=1$ , dan seterusnya. Jadi kita punya persamaan $y=x$ . Artinya jika diberikan persamaan $y=x$ , maka garisnya akan memiliki kemiringan ke kanan dan melewati titik asal (seperti pada gambar di atas). Sekarang kalau kita punya persamaan garis $y=2x$ , atau $y=3x$ , maka jika digambarkan dalam koordinat Kartesius yang sama dengan $y= x$ , didapat gambar grafiknya seperti berikut:Sekarang kita lihat perbedaan gambar grafik dari $y=x, y=2x,$ dan $y=3x$ . Terlihat bahwa ketiganya memiliki arah kemiringan ke kanan, dan ketiganya sama sama melewati titik asal, namun yang berbeda adalah kemiringannya, ada yang kemiringannya lebih curam, dan ada yang tidak. Kemiringan $y=3x$ lebih curam dari $y=2x$ , dan kemiringan $y=2x$ lebih curam dari $y=x$ , artinya, koefisien dari $x$ menentukan kemiringan dari garis tersebut. Untuk memperoleh rumus persamaan garis, maka kita harus menentukan rumus kemiringan dari garis tersebut, atau kita namakan sebagai gradien.

Bagaimana cara menetukan gradien?

Untuk menentukan rumus mencari kemiringan/gradien, perhatikan gambar berikut:

Perubahan nilai $x$ dari titik $P$ ke titik $Q$ adalah sebesar 3, dan perubahan nilai $y$ dari titik $P$ ke titik $Q$ adalah sebesar 2. Sehingga kemiringan dari garis tersebut merupakan pembagian dari perubahan nilai $y$ dengan perubahan nilai $x$ , dituliskan

$m= \frac{4-2}{5-2} = \frac{2}{3}$

karenanya rumus umum gradien dari persamaan garis yang melewati dua titik $(x_{1},y_{1})$ dan $(x_{2}, y_{2})$ adalah

$m= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

dengan $m$ menyatakan simbol gradien.

Catatan: Jika gradien bernilai positif, maka garis akan miring ke kanan. Dan jika bernilai negatif, maka garis akan miring ke kiri.

Rumus Umum Persamaan Garis

Setelah mendapatkan rumus kemiringan garis, maka akan sangat mudah bagi kita untuk menentukan bentuk umum persamaan garis. Caranya bagaimana? Kita lihat contoh berikut:

Misalkan garis pada gambar tersebut melewati titik $(1,2)$ dan memiliki kemiringan $1$ . Kita ambil sebarang titik lain pada garis tersebut, misalkan titik $(x,y)$ deh. Kita gunakan titik $(1,2)$ dan titik $(x,y)$ ke dalam rumus mencari gradien, di dapat

$m = \frac{y-2}{x-1}$

karena tadi kita sudah punya gradiennya adalah $m=1$ , maka

$1= \frac{y-2}{x-1}$

kalikan kedua ruas dengan $(x-1)$ ,

$1.(x-1) = y-2$

$y-2 =1(x-1)$

Jadi persamaan garis pada gambar tersebut adalah $y-2 = 1.(x-1)$ .

Lebih umum lagi, jika ada sebuah garis melewati titik (tetap) $(x_{1}, y_{1})$ dengan kemiringan $m$ , maka rumus umum persamaan garis tersebut adalah

$y-y_{1} = m(x-x_{1})$

Bentuk Lain Persamaan Garis

> Garis Berpotongan di Sumbu-y. Persamaan garis juga dapat dinyatakan ke dalam bermacam bentuk, misalnya, kita punya kemiringan garisnya $m$ , kemudian garis tersebut melewati titik $(x_{1},y_{1})$ dan memotong sumbu- $y$ di $(0,b)$ . Maka persamaan garisnya menjadi

$y-b = m(x-0)$

atau

$y=mx + b$

> Garis Tegak. Kemudian ada juga garis tegak, garis tegak ini merupakan garis yang berbentuk vertikal. Untuk menentukan persamaan garis tegak kita tidak bisa menggunakan rumus umum persamaan garis seperti sebelumnya, karena kemiringan dari garis tegak ini ternyata tidak terdefinisikan!

Misalkan garis tersebut melewati titik $(a,0)$ . Kita ambil sebarang titik lain yang terletak pada garis tersebut, misalnya $(a,y)$ . Maka berdasarkan rumus mencari gradien,

$m = \frac{y-0}{a-a} = \frac{y}{0}$

Kita mendapati pembagian dengan nol, karenanya, kemiringan dari garis tegak tersebut tidaklah terdefinisi. Jadi gimana dong bentuk persamaan garis tegak? simple aja kok, bentuk persamaan garis tegak adalah

$x = a$

> Garis Mendatar. Garis tegak punya temen namanya garis mendatar, garis mendatar ini bentuknya horizontal:

Cara menentukan rumus garis mendatar sama seperti sebelumnya. Misalkan garis tersebut melewati titik $(0,b)$ . Kita ambil sebarang titik lain yang terletak pada garis tersebut, misal $(x,b)$ . Berdasarkan rumus gradien,