Sangat penting bagi kita untuk mendefinisikan suatu fungsi secara lengkap, yakni dengan menyebutkan daerah asal fungsi dan (jika memungkinkan) menyebutkan daerah hasilnya juga. Apa yang dimaksud dengan daerah asal atau domain suatu fungsi? Simplenya, daerah asal itu himpunan semua bilangan riil x sehingga fungsi f(x) terdefinisi. Daerah asal ini dinotasikan dengan D_{f}. Apakah setiap fungsi memiliki daerah asal? yup! Setiap fungsi memiliki daerah asalnya sendiri, karena daerah asalnya dapat “diasumsikan”, namun untuk materi tingkat lanjut nanti kita akan menemukan fungsi yang ternyata tidak memiliki daerah asal, namun fokus kita di sini adalah bagaimana cara mencari daerah asal dari fungsi tersebut.

Menentukan Domain suatu Fungsi

Ada dua cara untuk menentukan domain suatu fungsi, yaitu dengan menggunakan grafik, dan tidak menggunakan grafik. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:

Contoh 1. Sketsakan grafik fungsi f(x) = \sqrt{x+4}. Kemudian berdasarkan grafik tersebut, tuliskan daerah asal dari fungsi f(x)!

Pembahasan: Pertama tama kita gambarkan grafik dari persamaan y= \sqrt{x+4} dengan terlebih dahulu membuat tabel nilai dan memplotkan titik-titiknya, sehingga diperoleh gambar grafiknya sebagai berikut

Sumber: intmath.com

Sekarang kita fokus terhadap sumbu-x, terlihat bulatan penuh di titik (-4,0), yang artinya, di titik tersebut grafik y=\sqrt{x+4} ‘dimulai’. Oleh karena itu, daerah asalnya adalah semua nilai x yang lebih besar atau sama dengan 4, dituliskan D_{f} = \left\{x| x\geq 4, x\in \mathbb{R}\right \}. Apa yang terjadi jika kita menginputkan nilai x yang bukan anggota dari daerah asalnya ke dalam fungsi f(x)? Misal kita coba ambil nilai x=-5, maka jika kita substitusikan nilai tersebut ke dalam fungsi f(x)=\sqrt{x+4} didapat

f(-5)=\sqrt{-5+1}=\sqrt{-1} = ?

jika kita hitung nilai dari \sqrt{-1} ke dalam kalkulator, maka hasilnya adalah syntax error! Jadi fungsi f(x)= \sqrt{x+4} dia tidak dapat terdefinisikan di titik x=-5, begitupun untuk setiap nilai x <-4.

Menentukan domain dari suatu fungsi dengan menggunakan grafik cukup menguras waktu, jadi kita membutuhkan cara lain yang lebih efisien. Nah, sekarang kita akan mempelajari bagaimana mencari daerah asal dari fungsi polinomial, fungsi rasional, dan fungsi irasional tanpa menggunakan grafik.

Domain Fungsi Polinomial

Fungsi polinomial adalah fungsi yang berbentuk

P_{n}(x) = a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\cdot \cdot \cdot+a_{n}x^{n}

dengan n\in \mathbb{N}. Contohnya, f(x) = x^{3}-2x^{2}+x-1.

Domain dari fungsi polinomial adalah untuk setiap x\in \mathbb{R}, jadi, untuk berapapun nilai x\in \mathbb{R}, maka fungsi f(x) akan selalu terdefinisi. Kita ambil contoh fungsi sebelumnya, yaitu f(x) = x^{3}-2x^{2}+x-1. Berapapun nilai x yang kita substitusikan ke dalam f(x), maka nilai f(x) akan selalu ada, dituliskan D_{f} = \left \{x| x\in \mathbb{R} \right \}.

Domain Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah fungsi yang dinyatakan sebagai

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

dengan P(x), dan Q(x) merupakan polinomial, dan Q(x)\neq 0. Contohnya adalah f(x) = \frac{x^{2}-2x}{x-1}.

Syarat agar fungsi rasional terdefinisi adalah penyebutnya tidak boleh bernilai nol. Jadi kita harus mengecualikan nilai x sehingga Q(x)=0.

Contoh 2. Tentukan domain dari f(x) = \frac{x^{2}-2}{x^{2}-1}.

Pembahasan: Perhatikan bahwa

f(x) = \frac{x^{2}-2}{x^{2}-1}=\frac{x^{2}-2}{(x+1)(x-1)}

Sekarang kita hanya perlu fokus terhadap penyebutnya. Penyebut akan bernilai nol jika x=-1 dan x=1. Jadi kita harus mengecualikan x=-1 dan x=1 dari daerah asal, oleh karena itu daerah asalnya adalah untuk setiap bilangan riil x selain x=-1 dan x=1, dituliskan

D_{f} = \left \{x| x\neq -1 dan x\neq 1, x\in \mathbb{R} \right \}

Jika kita lihat grafik dari fungsi f(x) = \frac{x^{2}-2}{x^{2}-1},

maka di titik x=-1 dan x=1, grafik fungsi f(x) tidak terdefinisi (lihat garis merah, yang nanti akan kita kenal sebagai asimtot).

Domain Fungsi Irasional

Fungsi irasional adalah fungsi yang berbentuk

f(x) = \sqrt[n]{g(x)}, n\in \mathbb{N}

Contohnya, f(x)=\sqrt{x-1} atau f(x) = \sqrt[5]{x^{3}-2x}. Jika n= genap, maka syarat agar fungsi irasional tersebut terdefinisi adalah g(x) \geq 0. Jika n= ganjil, maka domain dari fungsi f(x) adalah untuk setiap x\in \mathbb{R}.

Contoh 3. Tentukan domain dari fungsi f(x)= \sqrt{x^{2}+x-6}.

Pembahasan: Ingat bahwa

f(x)= \sqrt{x^{2}+x-6}=\sqrt[2]{x^{2}+x-6}

karena n=2 (genap), maka syarat agar fungsi f(x) terdefinisi adalah

x^{2}+x-6 \geq 0

sekarang kita tentukan solusi nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut,

x^{2}+x-6 \geq 0

(x-2)(x+3) \geq 0

x\geq 2 atau x\leq -3

Jadi domain dari fungsi f(x) adalah,

D_{f} = \left \{x| x\geq 2, atau x\leq -3 \right \}.

Perbaiki kualitas mental.

Bagikan ke teman spesial mu

2 thoughts on “Daerah Asal Fungsi”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *