Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Login

Register Now

Bagaimana Kalkulus dapat Menentukan Waktu Kematian Seseorang?

“Kami sudah berhasil menentukan waktu terjadinya pembunuhan. Berdasarkan hasil forensik, sepertinya korban meninggal pada pukul 07.35”. Kalimat tersebut pasti sering kita lihat baik di dalam novel misteri ataupun siaran berita di pagi hari. Menentukan waktu kematian korban dapat mempermudah kita untuk menentukan siapa pelaku pembunuhan, dan tahukah teman-teman? ternyata kalkulus dibalik perhitungan dalam menentukan waktu kematian tersebut!

Sumber: gettyimages.com

Isaac Newton (1643-1727), seorang Fisikawan sekaligus Matematikawan asal Inggris, mencetuskan Hukum Pendinginan yang dikenal sebagai Hukum Pendinginan Newton. Hukum ini menjelaskan bahwa laju panas yang hilang dari suatu benda akan berbanding lurus dengan perbedaan suhu antara benda dan lingkungan. Pada umumnya suhu normal manusia berada pada rentang 36,5^{o}C-37,2^{o}C  dan bisa berubah-ubah setiap waktunya. Suhu lingkungan di sekitar kita jauh lebih rendah dibandingkan suhu tubuh, kira-kira sebesar 27^{o}C. Ketika kita meninggal, maka perlahan-lahan suhu tubuh akan semakin rendah sehingga menyesuaikan dengan suhu lingkungan. Nah penurunan suhu pada manusia ketika sudah meninggal mengikuti Hukum Pendinginan Newton. Apa bunyi dari Hukum Newton tersebut?

Jika T(t) menyatakan fungsi suhu suatu benda pada waktu t, maka

\frac{dT}{dt}=k(T-T_{e})

dimana k suatu konstanta, dan T_{e} adalah suhu lingkungan di sekitar benda.

Nilai dari k tidak diketahui, namun dapat kita peroleh dari penurunan persamaan di atas. Nilai k dapat diganti menjadi +k jika suhu mengalami kenaikan, dan diganti menjadi -k jika suhu mengalami penurunan. Sekarang kita selesaikan persamaan pada Hukum Pendinginan Newton jika suhu mengalami penurunan. Perhatikan bahwa

\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{e})

\frac{dT}{T-T_{e}}=-kdt

integrasikan kedua ruas untuk menghasilkan,

\int\frac{dT}{T-T_{e}}=\int -kdt

ln|T-T_{e}|=-kt+C^{*}

T-T_{e}=Ce^{-kt}      (*)

dengan mensubstitusikan t=0 maka T=T_{0} dan

T_{0}-T_{e}=Ce^{0}

C=T_{0}-T_{e}

Substitusikan nilai C pada persamaan (*), sehingga diperoleh solusi dari Hukum Pendinginan Newton sebagai,

T=(T_{0}-T_{e})e^{-kt}+T_{e}    (**)

dimana T_{o} adalah suhu awal dari benda.

Nah tujuan kita sekarang adalah untuk menentukan waktu meninggalnya seseorang dengan menggunakan rumus tersebut. Untuk mencari rumus waktu kematian (dinotasikan t_{m}), maka terlebih dahulu harus ditentukan rumus mencari nilai k. Misalkan T_{1} menyatakan suhu tubuh mayat pada waktu t_{1}. Substitusikan T=T_{1} dan t=t_{1} ke dalam persamaan (**) menghasilkan

T_{1}=(T_{0}-T_{e})e^{-kt_{1}}+T_{e}

e^{-kt_{1}}=\frac{T_{1}-T_{e}}{T_{0}-T_{e}}

jadi rumus mencari konstanta k adalah,

k=-\frac{1}{t_{1}}ln(\frac{T_{1}-T_{e}}{T_{0}-T_{e}})

jika disubstitusikan t_{1}=t_{m} dan T_{1}=T_{m}, dimana T_{m} adalah suhu mayat ketika baru saja meninggal, maka diperoleh rumus mencari waktu kematian seseorang sebagai berikut,

t_{m}=-\frac{1}{k}ln(\frac{T_{m}-T_{e}}{T_{0}-T_{e}})

Mari Menjadi Detektif…

Sekarang kita terapkan Hukum Pendinginan Newton ke dalam masalah berikut:

Telah terjadi perampokan dan pembunuhan yang menewaskan satu orang korban laki-laki di daerah Banjaran, Kabupaten Bandung. Suhu ruangan tempat kejadian saat itu berkisar 20^{o}C. Suhu pada tubuh korban saat ditemukan adalah 29^{o}C, kemudian setelah 1 jam, suhu tubuhnya diukur kembali dan telah berubah menjadi 24^{o}C. Mayat ditemukan pada hari minggu pukul 07.00 pagi. Kapan pembunuhan tersebut dilakukan?

Pertama-tama kita kumpulkan semua data yang telah diketahui, yakni suhu ruangan T_{e}=20^{o}C, suhu korban saat ditemukan T_{0}=29^{o}C, kemudian setelah 1 jam diukur kembali, yakni ketika t_{1}=1, maka suhunya menjadi T_{1}=24^{o}C. Suhu korban ketika baru saja meninggal kita estimasikan sebesar T_{m}=37^{o}C (karena rata-rata suhu tubuh manusia berkisar pada nilai tersebut). Selanjutnya kita tentukan nilai konstanta k dengan rumus yang telah diberikan,

k=-\frac{1}{1}ln(\frac{24-20}{29-20})=-ln(\frac{4}{9})\approx 0,811 perjam

sehingga

t_{m}=-\frac{1}{k}ln(\frac{T_{m}-T_{e}}{T_{0}-T_{e}})=-\frac{1}{0,811}ln(\frac{37-20}{29-20})=-\frac{1}{0.811}ln(\frac{17}{9})\approx -0.784jam

Artinya mayat tersebut ditemukan sekitar 0,784 jam, atau setara dengan 47 menit setelah meninggal. Dengan demikian waktu meninggal korban diperkirakan pukul 06.13 pagi. Karenanya pelaku pembunuhan tersebut pasti belum pergi jauh dari tempat kejadian!


Referensi:

Muhammad, Fatihu, Auwalu Haruna. The Determination of The Estimation Time of Death, Using Differential Equation. [http://kutej.edu.ng/muhammad_and_haruna.pdf]

 

About Arini Soesatyo Putriclever

Math Addict || Freelance Illustrator || Traveller || Blogger || Hijab Cosplayer || Anime Lover

Follow Me

Comment ( 1 )

  1. Keren 👍👍👍

Leave a reply